Deret (matematika)

Definisi
Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total
Konsep
Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor
Kaidah dan identitas
Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno

Integral

Definisi
Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral
Integrasi secara
parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi

Deret

Uji kekonvergenan
geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor
uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel

Vektor

Teorema
Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas
Kedivergenan Gradien Green Stokes

Multivariabel

Formalisme
matriks tensor eksterior geometrik
Definisi
Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse

Khusus

Deret 1 2 + 1 4 4 + 1 8 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}4+{\frac {1}{8}}+\cdots } ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}4+{\frac {1}{8}}+\cdots$ konvergen menuju 1

Deret (bahasa Inggris:series) adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan. Barisan dan deret hingga mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan barisan dan deret tak terhingga berlangsung terus menerus tak terbatas.^[1]

Dalam matematika, jika ada suatu barisan bilangan tak hingga { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} $\{a_{n}\}$ , maka suatu deret secara mudahnya adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ {\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots } $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ . Ini dapat ditulis lebih ringkas menggunakan notasi Sigma ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots .} $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots .$

Suku-suku dalam suatu deret sering ditentukan menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritma. Mengingat tidak terbatasnya jumlah suku, hasilnya sering disebut deret tak terhingga atau deret takhingga (bahasa Inggris:infinite series). Berbeda dengan penjumlahan hingga, deret tak terhingga memerlukan bantuan dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

Notasi

Simbol pada deret yaitu ∑ {\displaystyle \sum } $\sum$ menunjukkan penjumlahan dan dapat diinterpretasikan dengan mengulang hasil keliling (biasanya ditentukan di bawah penjumlahan), karena kita membutuhkan (biasanya bilangan bulat) nilai dalam rentang yang ditentukan (dari nilai awal ke batas atas), kemudian menambahkan ekspresi yang dihasilkan. Misalkan:

∑ k = 1 200 f ( k ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) + ⋯ + f ( 200 ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{200}f(k)=f(1)+f(2)+\dots +f(200).} $\sum _{k=1}^{200}f(k)=f(1)+f(2)+\dots +f(200).$

Keliling pada nilai k kita memiliki nilai awal 1. Hal tersebut diiterasi untuk semua nilai integer hingga dengan nilai 200 dari batas tersebut. Setelah itu iterasi tersebut akan dijumlahkan.

Konvergensi

Sebuah deret dikatakan konvergen ke suatu nilai jika batas jumlah parsial mendekati nilai tersebut; yaitu, diberikannya barisan tak terbatas { a k } {\displaystyle \{a_{k}\}} $\{a_{k}\}$ adalah deret:

∑ k = 1 ∞ a k = lim n → ∞ ∑ k = 1 n a k . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.} $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

Jika hasilnya limit tidak ada, deret tersebut dikatakan divergen.

Suatu deret dikatakan konvergen secara absolut jika deret yang terbentuk dari nilai absolut syarat pada konvergen; yaitu, diberi urutan tak terbatas { a k } {\displaystyle \{a_{k}\}} $\{a_{k}\}$ :

∑ k = 1 ∞ | a k | {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|} $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$

konvergensi.

Sifat dasar

Definisi

Untuk setiap barisan { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} $\{a_{n}\}$ bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata

∑ n = 0 ∞ a n = a 0 + a 1 + a 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots } $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$ .

Barisan jumlah parsial { S k } {\displaystyle \{S_{k}\}} $\{S_{k}\}$ bersangkutan dengan suatu deret ∑ n = 0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ didefinisikan bagi setiap k {\displaystyle k} $k$ sebagai jumlah Barisan { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} $\{a_{n}\}$ dari a 0 {\displaystyle a_{0}} $a_{0}$ hingga a k {\displaystyle a_{k}} $a_{k}$

S k = ∑ n = 0 k a n = a 0 + a 1 + ⋯ + a k . {\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.} $S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.$

Berdasarkan definisi, deret ∑ n = 0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ konvergen menjadi suatu limit L {\displaystyle L} $L$ jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial { S k } {\displaystyle \{S_{k}\}} $\{S_{k}\}$ konvegen ke L {\displaystyle L} $L$ . Definisi ini biasanya ditulis sebagai

L = ∑ n = 0 ∞ a n ⇔ L = lim k → ∞ S k . {\displaystyle L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\Leftrightarrow L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}.} $L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\Leftrightarrow L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}.$

Deret fungsi

Artikel utama: Deret fungsi

Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks

∑ n = 0 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)} $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$

konvergen sesetitik pada suatu himpunan E {\displaystyle E} $E$ , jika deret konvergen untuk setiap x {\displaystyle x} $x$ di E {\displaystyle E} $E$ sebagai suatu deret biasa dari bilangan real atau bilangan kompleks. Jumlah parsialnya ekuivalen dengan di atas.

s N ( x ) = ∑ n = 0 N f n ( x ) {\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)} $s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)$

Deret tersebut konvergen ke f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ ketika N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } $N\to \infty$ untuk setiap x ∈ E {\displaystyle x\in E} $x\in E$ .

Deret pangkat

Artikel utama: Deret pangkat

Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n = a 0 + a 1 ( x − c ) 1 + a 2 ( x − c ) 2 + a 3 ( x − c ) 3 + ⋯ {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots } $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

dengan a n {\displaystyle a_{n}} $a_{n}$ melambangkan koefisien suku ke- n {\displaystyle n} $n$ , c {\displaystyle c} $c$ adalah konstanta dan x {\displaystyle x} $x$ berubah-ubah di sekitar c {\displaystyle c} $c$ (karena alasan ini, kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c {\displaystyle c} $c$ ). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan c {\displaystyle c} $c$ sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots } $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots$ .

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan c {\displaystyle c} $c$ . Misalnya, deret

∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

adalah deret Taylor dari e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x {\displaystyle x} $x$ .

Lihat pula

Referensi

↑ Gullberg, Jan, Mathematics: from the birth of numbers, W.W. Norton, 1997, hlm. 264, ISBN 0-393-04002-X

Pustaka

Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces". Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 36 (3): 192–197. doi:10.1073/pnas.36.3.192. MR 0033975

Pranala luar

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Series (mathematics).

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Series", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Infinite Series Tutorial

Barisan dan deret

Barisan
bilangan bulat

Dasar	Barisan dan deret aritmetika Barisan dan deret geometri Barisan harmonik Bilangan persegi Bilangan kubik Faktorial Perpangkatan bilangan dua Perpangkatan bilangan tiga Perpangkatan bilangan 10
Lanjutan (daftar)	Barisan lengkap Bilangan Fibonacci Bilangan figurasi Bilangan heptagonal Bilangan heksagonal Bilangan Lucas Bilangan Pell Bilangan pentagonal Bilangan poligonal Bilangan segitiga

Sifat-sifat barisan

Sifat-sifat deret

Deret	Selang-seling Konvergen Divergen Teleskopik
Konvergensi	Mutlak Bersyarat Seragam

Deret eksplisit

konvergen	1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 1 + 1/2^s+ 1/3^s + ... (Fungsi zeta Riemann)
Divergen	1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Deret Grandi) Deret aritmetika tak terbatas 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (deret harmonik) 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (faktorial selaing-seling) 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (Invers bilangan prima)

Jenis deret

Deret
Hipergeometrik

l b s Kalkulus
Prakalkulus	Teorema binomial Fungsi cekung Fungsi kontinu Faktorial Beda hingga Variabel bebas dan variabel terikat Grafik fungsi Fungsi linear Radian Teorema Rolle Sekan Kemiringan Garis singgung
Limit (matematika)	Bentuk tak tentu Limit barisan Limit fungsi Limit sepihak Urutan aproksimasi definisi (ε, δ) dari limit
Kalkulus diferensial	Turunan Turunan kedua Turunan parsial Diferensial Operator diferensial Teorema nilai purata Notasi Notasi Leibniz Notasi Newton Kaidah pendiferensialan jumlahan linearitas pangkat Rantai L'Hôpital darab Aturan umum Leibniz Hasil-bagi Teknik lainnya Turunan implisit Turunan fungsi invers Turunan logaritmik Laju yang berkaitan Titik stasioner Uji turunan pertama Uji turunan kedua Teorema nilai ekstrem Maksimum dan minimum Penerapan lebih lanjut Metode Newton Teorema Taylor Persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa Persamaan diferensial parsial Persamaan diferensial stokastik Persamaan diferensial-integral
Kalkulus integral	Integral tak tentu Panjang busur Integral Riemann Sifat dasar Konstanta integrasi Teorema dasar kalkulus Kaidah integral Leibniz Pengintegralan parsial Integral substitusi Substitusi trigonometri Substitusi Euler Substitusi tangen setengah sudut Dekomposisi pecahan parsial Integral kuadratik Kaidah trapesium Volume Integrasi cakram Integrasi kulit Persamaan integral Persamaan diferensial-integral
Kalkulus vektor	Turunan Gradien Turunan berarah Divergensi Kerul Laplace Teorema dasar Integral garis Green Stokes Gauss
Kalkulus multivariabel	Turunan parsial Pengali Lagrange Integral lipat Integral garis Integral permukaan Integral volume Matriks Hesse Matriks Jacobi Geometrik Matrix Topik lanjutan Bentuk diferensial Luar Perumuman teorema Stokes Tensor
Deret	Barisan aritmetika-geometrik Jenis-jenis deret Geometrik Takhingga Harmonik Pangkat Taylor Maclaurin Selang-seling Binomial Fourier Deret teleskopik Uji konvergensi suku ke-n Rasio Akar Integral Perbandingan langsung Perbandingan limit Deret selang-seling Kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Fungsi dan bilangan khusus	Bilangan Bernoulli e (konstanta matematika) Fungsi eksponensial Logaritma alami Aproksimasi Stirling
Sejarah kalkulus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Fluksion Gottfried Wilhelm Leibniz Hukum kekontinuan Infinitesimal Isaac Newton Kalkulus infinitesimal Keumuman aljabar Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Daftar-daftar	Kaidah pendiferensialan Daftar limit Daftar integral Daftar integral dari fungsi eksponensial Daftar integral dari fungsi hiperbolik Daftar integral dari fungsi hiperbolik invers Daftar integral dari fungsi irasional Daftar integral dari fungsi logaritmik Daftar integral dari fungsi rasional Daftar integral dari fungsi trigonometrik invers Daftar integral dari fungsi trigonometrik Sekan Sekan kubik
Topik lainnya	Kalkulus kompleks Integral kontur Geometri diferensial Manifol Kelengkungan dari kurva dari permukaan Tensor Rumus Euler–Maclaurin Terompet Jibril Integration bee Bukti bahwa 22/7 melebihi π Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus