Turunan kedua

Definisi
Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total
Konsep
Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor
Kaidah dan identitas
Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno

Integral

Definisi
Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral
Integrasi secara
parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi

Deret

Uji kekonvergenan
geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor
uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel

Vektor

Teorema
Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas
Kedivergenan Gradien Green Stokes

Multivariabel

Formalisme
matriks tensor eksterior geometrik
Definisi
Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse

Khusus

Dalam kalkulus, turunan kedua (bahasa Inggris:second derivative atau second order derivative) dari suatu fungsi f adalah turunan atau derivatif dari turunan f. Dalam garis besar, dikatakan bahwa turunan kedua mengukur bagaimana laju perubahan suatu kuantitas itu sendiri berubah; misalnya, turunan kedua dari posisi suatu benda terhadap waktu adalah percepatan sesaat benda, atau laju perubahan kecepatan benda. Dalam notasi Leibniz:

a = d v d t = d 2 x d t 2 {\displaystyle a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}} $a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}$ ,

dimana a adalah percepatan, v adalah kecepatan, x adalah posisi, dan d adalah perubahan atau selisih sesaat. Bentuk terakhir d 2 x d t 2 {\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}} ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ merupakan turunan kedua dari posisi (x) terhadap waktu.

Pada grafik fungsi, turunan kedua bersangkutan dengan kelengkungan atau kecekungan grafik. Grafik suatu fungsi dengan turunan kedua positif melengkung ke atas, sementara grafik suatu fungsi dengan turunan kedua negatif melengkung ke bawah.

Turunan kedua dari aturan pangkat

Turunan pertama dari aturan pangkat, jika diturunkan dua kali, akan menghasilkan turunan kedua dari aturan pangkat sebagai berikut.

d 2 d x 2 [ x n ] = n ( n − 1 ) x ( n − 2 ) = ( n 2 − n ) x ( n − 2 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}[x^{n}]=n(n-1)x^{(n-2)}=(n^{2}-n)x^{(n-2)}} ${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}[x^{n}]=n(n-1)x^{(n-2)}=(n^{2}-n)x^{(n-2)}$ .

Notasi

Informasi lebih lanjut: Notasi diferensiasi

Turunan kedua suatu fungsi f ( x ) {\displaystyle f(x)\!} $f(x)\!$ biasanya diberi lambang f ″ ( x ) {\displaystyle f''(x)\!} $f''(x)\!$ . Yaitu:

f ″ = ( f ′ ) ′ {\displaystyle f''=(f')'\!} $f''=(f')'\!$

Jika menggunakan Notasi Leibniz untuk turunan, turunan kedua dari variabel dependent y terhadap suatu variabel independent x ditulis

d 2 y d x 2 . {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.} ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

Notasi ini diturunkan dari formula berikut:

d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) . {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).} ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

Pustaka

Cetak

Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (Februari 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (Edisi 8th), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Apostol, Tom M. (Juni 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (Edisi 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Apostol, Tom M. (Juni 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (Edisi 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Eves, Howard (Januari 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (Edisi 6th), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (Februari 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (Edisi 4th), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Spivak, Michael (September 1994), Calculus (Edisi 3rd), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Stewart, James (Desember 24, 2002), Calculus (Edisi 5th), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Edisi Revised, Updated, Expanded), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3.{{cite book}}: Parameter tidak dikenal |coauthors= diabaikan (|author= disarankan) (Indonesia)
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-564-5.{{cite book}}: Parameter tidak dikenal |coauthors= diabaikan (|author= disarankan) (Indonesia)