Integral volume

Integral dengan domain 3DTemplat:SHORTDESC:Integral dengan domain 3D

Teorema dasar

Definisi
Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total
Konsep
Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor
Kaidah dan identitas
Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno

Integral

Definisi
Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral
Integrasi secara
parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi

Deret

Uji kekonvergenan
geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor
uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel

Vektor

Teorema
Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas
Kedivergenan Gradien Green Stokes

Multivariabel

Formalisme
matriks tensor eksterior geometrik
Definisi
Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse

Khusus

Dalam matematika (terutama kalkulus multivariabel), integral volume (∭) adalah integral pada domain berdimensi tiga. Dengan kata lain, integral volume adalah kasus khusus dari integral lipat. Integral volume sangatlah berguna dalam bidang fisika, misalnya untuk perhitungan kerapatan fluks, atau perhitungan massa dari suatu fungsi kerapatan.

Sistem Koordinat

Diberikan suatu himpunan D ⊆ R 3 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{3}} $D\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ . Dalam sistem koordinat Kartesius, maka integral volume dari suatu fungsi f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,\,y,\,z)} $f(x,\,y,\,z)$ pada daerah D {\displaystyle D} $D$ ditulis sebagai: ∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle \iiint _{D}f(x,\,y,\,z)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z} $\iiint _{D}f(x,\,y,\,z)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z$ Integral volume pada daerah D {\displaystyle D} $D$ dalam sistem koordinat tabung ialah ∭ D f ( r , θ , z ) ⋅ r d r d θ d z {\displaystyle \iiint _{D}f(r,\,\theta ,\,z)\cdot r\,{\text{d}}r\,{\text{d}}\theta \,{\text{d}}z} $\iiint _{D}f(r,\,\theta ,\,z)\cdot r\,{\text{d}}r\,{\text{d}}\theta \,{\text{d}}z$ dan integral volume pada daerah D {\displaystyle D} $D$ dalam sistem koordinat bola memiliki bentuk umum ∭ D f ( r , θ , φ ) ⋅ r 2 sin ( θ ) d r d θ d φ {\displaystyle \iiint _{D}f(r,\,\theta ,\,\varphi )\cdot r^{2}\sin \!\left(\theta \right)\,{\text{d}}r\,{\text{d}}\theta \,{\text{d}}\varphi } $\iiint _{D}f(r,\,\theta ,\,\varphi )\cdot r^{2}\sin \!\left(\theta \right)\,{\text{d}}r\,{\text{d}}\theta \,{\text{d}}\varphi$ dengan φ {\displaystyle \varphi } $\varphi$ menyatakan sudut azimut dan θ {\displaystyle \theta } $\theta$ diukur dari sumbu polar, sesuai dengan konvensi ISO.

Contoh

Mengintegralkan fungsi f ( x , y , z ) = 1 {\displaystyle f(x,\,y,\,z)=1} $f(x,\,y,\,z)=1$ pada kubus satuan akan menghasilkan ∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 1 − 0 ) d y d z = ∫ 0 1 ( 1 − 0 ) d z = 1 − 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\iiint _{D}f(x,\,y,\,z)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}(1-0)\,{\text{d}}z\\&=1-0\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\iiint _{D}f(x,\,y,\,z)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}(1-0)\,{\text{d}}z\\&=1-0\end{aligned}}$

yang berarti volume dari suatu kubus satuan ialah 1, sesuai dengan ekspektasi. Hasil ini mungkin terlihat sepele, tetapi kegunaan integral volume jauh lebih daripada itu. Misalnya, jika diberikan suatu skalar fungsi kepadatan pada kubus satuan, maka integral volume akan memberikan massa total dari kubus tersebut. Sebagai contoh, jika fungsi kepadatannya ialah f ( x , y , z ) = x + y + z {\displaystyle f(x,\,y,\,z)=x+y+z} $f(x,\,y,\,z)=x+y+z$ , maka total massa yang dimiliki kubus satuan ialah ∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x + y + z ) d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 1 2 + y + z ) d y d z = ∫ 0 1 ( 1 + z ) d z = 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\iiint _{D}f(x,\,y,\,z)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left(x+y+z\right)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\dfrac {1}{2}}+y+z\right)\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}\left(1+z\right)\,{\text{d}}z\\&={\dfrac {3}{2}}\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\iiint _{D}f(x,\,y,\,z)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left(x+y+z\right)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\dfrac {1}{2}}+y+z\right)\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}\left(1+z\right)\,{\text{d}}z\\&={\dfrac {3}{2}}\end{aligned}}$

Lihat juga

Portal Matematika

Pranala luar

(Inggris) Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Multiple integral", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
(Inggris)Weisstein, Eric W. "Volume integral". MathWorld.

l b s Kalkulus
Prakalkulus	Teorema binomial Fungsi cekung Fungsi kontinu Faktorial Beda hingga Variabel bebas dan variabel terikat Grafik fungsi Fungsi linear Radian Teorema Rolle Sekan Kemiringan Garis singgung
Limit (matematika)	Bentuk tak tentu Limit barisan Limit fungsi Limit sepihak Urutan aproksimasi definisi (ε, δ) dari limit
Kalkulus diferensial	Turunan Turunan kedua Turunan parsial Diferensial Operator diferensial Teorema nilai purata Notasi Notasi Leibniz Notasi Newton Kaidah pendiferensialan jumlahan linearitas pangkat Rantai L'Hôpital darab Aturan umum Leibniz Hasil-bagi Teknik lainnya Turunan implisit Turunan fungsi invers Turunan logaritmik Laju yang berkaitan Titik stasioner Uji turunan pertama Uji turunan kedua Teorema nilai ekstrem Maksimum dan minimum Penerapan lebih lanjut Metode Newton Teorema Taylor Persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa Persamaan diferensial parsial Persamaan diferensial stokastik Persamaan diferensial-integral
Kalkulus integral	Integral tak tentu Panjang busur Integral Riemann Sifat dasar Konstanta integrasi Teorema dasar kalkulus Kaidah integral Leibniz Pengintegralan parsial Integral substitusi Substitusi trigonometri Substitusi Euler Substitusi tangen setengah sudut Dekomposisi pecahan parsial Integral kuadratik Kaidah trapesium Volume Integrasi cakram Integrasi kulit Persamaan integral Persamaan diferensial-integral
Kalkulus vektor	Turunan Gradien Turunan berarah Divergensi Kerul Laplace Teorema dasar Integral garis Green Stokes Gauss
Kalkulus multivariabel	Turunan parsial Pengali Lagrange Integral lipat Integral garis Integral permukaan Integral volume Matriks Hesse Matriks Jacobi Geometrik Matrix Topik lanjutan Bentuk diferensial Luar Perumuman teorema Stokes Tensor
Deret	Barisan aritmetika-geometrik Jenis-jenis deret Geometrik Takhingga Harmonik Pangkat Taylor Maclaurin Selang-seling Binomial Fourier Deret teleskopik Uji konvergensi suku ke-n Rasio Akar Integral Perbandingan langsung Perbandingan limit Deret selang-seling Kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Fungsi dan bilangan khusus	Bilangan Bernoulli e (konstanta matematika) Fungsi eksponensial Logaritma alami Aproksimasi Stirling
Sejarah kalkulus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Fluksion Gottfried Wilhelm Leibniz Hukum kekontinuan Infinitesimal Isaac Newton Kalkulus infinitesimal Keumuman aljabar Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Daftar-daftar	Kaidah pendiferensialan Daftar limit Daftar integral Daftar integral dari fungsi eksponensial Daftar integral dari fungsi hiperbolik Daftar integral dari fungsi hiperbolik invers Daftar integral dari fungsi irasional Daftar integral dari fungsi logaritmik Daftar integral dari fungsi rasional Daftar integral dari fungsi trigonometrik invers Daftar integral dari fungsi trigonometrik Sekan Sekan kubik
Topik lainnya	Kalkulus kompleks Integral kontur Geometri diferensial Manifol Kelengkungan dari kurva dari permukaan Tensor Rumus Euler–Maclaurin Terompet Jibril Integration bee Bukti bahwa 22/7 melebihi π Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus