Pengali Lagrange

Pengali Lagrange adalah metode untuk mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Metode ini dinamai dari matematikawan Prancis-Italia Joseph-Louis Lagrange.^[1]

Apabila hanya ada satu batasan dan dua pilihan variabel, pertimbangkan permasalahan optimisasi berikut:

maksimisasi f(x, y)

bergantung pada g(x, y) = 0.

Diasumsikan bahwa f dan g memiliki turunan parsial pertama. Kemudian ditambahkan variabel baru (λ) yang disebut "pengali Lagrange", dan fungsi Lagrange didefinisikan sebagai berikut:

L ( x , y , λ ) = f ( x , y ) − λ ⋅ g ( x , y ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y),}

λ dapat ditambahkan atau dikurangi. Jika f(x₀, y₀) adalah nilai maksimum f(x, y), maka terdapat λ₀ sehingga (x₀, y₀, λ₀) adalah titik stasioner untuk fungsi Lagrange. (titik stasioner adalah titik engan turunan parsial L {\displaystyle {\mathcal {L}}} yang bernilai nol). Namun, tidak semua titik stasioner menghasilkan solusi untuk masalah awalnya. Maka dari itu, metode pengali Lagrange menghasilkan kondisi yang diperlukan untuk optimalitas dalam masalah yang terbatasi.^{[2][3][4][5][6]}

Untuk kasus umum dengan jumlah n (variabel) yang sembarang dan jumlah M (batasan) yang sembarang, bentuk Lagrangenya adalah:

L ( x 1 , … , x n , λ 1 , … , λ M ) = f ( x 1 , … , x n ) − ∑ k = 1 M λ k g k ( x 1 , … , x n ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{M}\right)=f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)-\sum \limits _{k=1}^{M}{\lambda _{k}g_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)},}

sekali lagi optimum f yang terbatasi sama dengan titik stasioner L . {\displaystyle {\mathcal {L}}.}

Catatan kaki