Titik stasioner

Artikel ini berisi tentang titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi dengan variabel riil. Untuk konsep umum, lihat titik kritis (matematika).

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Stationary point di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Dalam matematika, khususnya bidang kalkulus, titik stasioner atau titik pegun dari fungsi terdiferensialkan adalah suatu titik dalam domain fungsi tersebut dengan nilai turunan pertama pada titik itu sama dengan nol.^[1]^[2] Dengan kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" berubah, naik atau turun, pada titik tersebut. Untuk fungsi beberapa peubah riil yang dapat diturunkan, titik stasioner adalah titik dalam domain fungsi yang nilai turunan parsialnya sama dengan nol.

Titik stasioner mudah terlihat pada suatu grafik fungsi satu peubah, karena titik tersebut terletak di titik dengan garis singgung mendatar (yakni sejajar dengan sumbu-x). Untuk fungsi dengan dua peubah, titik ini sama dengan titik di grafik dengan bidang singgung yang sejajar dengan bidang xy.

Definisi

Misalkan suatu fungsi f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ dapat diturunkan pada titik a ∈ R n . {\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}.} $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}.$ Titik a {\displaystyle \mathbf {a} } $\mathbf {a}$ adalah suatu titik stasioner fungsi f {\displaystyle f} $f$ , jika untuk setiap i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,2,\ldots ,n} $i=1,2,\ldots ,n$ berlaku

∇ f ( a ) = grad ⁡ f ( a ) = 0 ⇔ ∂ f ∂ x i ( a ) = 0. {\displaystyle \nabla f(\mathbf {a} )=\operatorname {grad} f(\mathbf {a} )=\mathbf {0} \Leftrightarrow {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {a} )=0.} $\nabla f(\mathbf {a} )=\operatorname {grad} f(\mathbf {a} )=\mathbf {0} \Leftrightarrow {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {a} )=0.$

Notasi grad ⁡ f ( a ) {\displaystyle \operatorname {grad} f(\mathbf {a} )} $\operatorname {grad} f(\mathbf {a} )$ menyatakan gradien dari fungsi f ( a ) {\displaystyle f(\mathbf {a} )} $f(\mathbf {a} )$ .

Untuk fungsi satu peubah f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , definisi titik stasioner dapat disederhanakan menjadi: Titik a {\displaystyle a} $a$ adalah suatu titik stasioner jika f ′ ( a ) = 0 {\displaystyle f'(a)=0} $f'(a)=0$ .

Klasifikasi

Lihat pula: Maksimum dan minimum

Titik stasioner fungsi C 1 {\displaystyle C^{1}} $C^{1}$ bernilai riil f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dapat digolongkan menjadi empat jenis, dari hasil uji turunan pertama:

Minimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari negatif menjadi positif;
Maksimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari positif menjadi negatif
Titik belok yang naik adalah titik ketika turunan fungsi bernilai positif di kedua sisi titik stasioner
Titik belok yang turun adalah titik ketika turunan fungsi bernilai negatif di kedua sisi titik stasioner;

Titik stasioner jenis pertama dan kedua disebut "ekstrema lokal". Sementara itu, titik yang merupakan maksimum atau minimum global/absolut disebut ekstremum global/absolut. Dua jenis titik stasioner berikutnya yang bukan merupakan ekstremum lokal disebut titik sadel.

Penggambaran kurva

Penentuan posisi dan sifat titik stasioner membantu proses penggambaran kurva fungsi yang dapat diturunkan. Penyelesaian persamaan f'(x) = 0 menghasilkan koordinat x semua titik stasioner; koordinat y adalah nilai fungsi di koordinat x tersebut. Sifat suatu titik stasioner di x dapat ditentukan dengan melihat turunan kedua f''(x):

Jika f''(x) < 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum maksimum
Jika f''(x) > 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum minimum
Jika f''(x) = 0, sifat titik stasioner harus ditentukan dengan cara lain

Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari nilai fungsi di antara titik stasioner (jika fungsi didefinisikan dan tidak terputus).

Referensi

↑ Koko Martono (1999). Kalkulus. Jakarta: Erlangga.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)
↑ Joseph), Purcell, Edwin J. (Edwin (1987). Kalkulus dan geometry analitis. Erlangga. OCLC 959770413.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Banyak nama: daftar penulis (link)

Pranala luar

Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio at cut-the-knot

l b s Kalkulus
Prakalkulus	Teorema binomial Fungsi cekung Fungsi kontinu Faktorial Beda hingga Variabel bebas dan variabel terikat Grafik fungsi Fungsi linear Radian Teorema Rolle Sekan Kemiringan Garis singgung
Limit (matematika)	Bentuk tak tentu Limit barisan Limit fungsi Limit sepihak Urutan aproksimasi definisi (ε, δ) dari limit
Kalkulus diferensial	Turunan Turunan kedua Turunan parsial Diferensial Operator diferensial Teorema nilai purata Notasi Notasi Leibniz Notasi Newton Kaidah pendiferensialan jumlahan linearitas pangkat Rantai L'Hôpital darab Aturan umum Leibniz Hasil-bagi Teknik lainnya Turunan implisit Turunan fungsi invers Turunan logaritmik Laju yang berkaitan Titik stasioner Uji turunan pertama Uji turunan kedua Teorema nilai ekstrem Maksimum dan minimum Penerapan lebih lanjut Metode Newton Teorema Taylor Persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa Persamaan diferensial parsial Persamaan diferensial stokastik Persamaan diferensial-integral
Kalkulus integral	Integral tak tentu Panjang busur Integral Riemann Sifat dasar Konstanta integrasi Teorema dasar kalkulus Kaidah integral Leibniz Pengintegralan parsial Integral substitusi Substitusi trigonometri Substitusi Euler Substitusi tangen setengah sudut Dekomposisi pecahan parsial Integral kuadratik Kaidah trapesium Volume Integrasi cakram Integrasi kulit Persamaan integral Persamaan diferensial-integral
Kalkulus vektor	Turunan Gradien Turunan berarah Divergensi Kerul Laplace Teorema dasar Integral garis Green Stokes Gauss
Kalkulus multivariabel	Turunan parsial Pengali Lagrange Integral lipat Integral garis Integral permukaan Integral volume Matriks Hesse Matriks Jacobi Geometrik Matrix Topik lanjutan Bentuk diferensial Luar Perumuman teorema Stokes Tensor
Deret	Barisan aritmetika-geometrik Jenis-jenis deret Geometrik Takhingga Harmonik Pangkat Taylor Maclaurin Selang-seling Binomial Fourier Deret teleskopik Uji konvergensi suku ke-n Rasio Akar Integral Perbandingan langsung Perbandingan limit Deret selang-seling Kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Fungsi dan bilangan khusus	Bilangan Bernoulli e (konstanta matematika) Fungsi eksponensial Logaritma alami Aproksimasi Stirling
Sejarah kalkulus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Fluksion Gottfried Wilhelm Leibniz Hukum kekontinuan Infinitesimal Isaac Newton Kalkulus infinitesimal Keumuman aljabar Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Daftar-daftar	Kaidah pendiferensialan Daftar limit Daftar integral Daftar integral dari fungsi eksponensial Daftar integral dari fungsi hiperbolik Daftar integral dari fungsi hiperbolik invers Daftar integral dari fungsi irasional Daftar integral dari fungsi logaritmik Daftar integral dari fungsi rasional Daftar integral dari fungsi trigonometrik invers Daftar integral dari fungsi trigonometrik Sekan Sekan kubik
Topik lainnya	Kalkulus kompleks Integral kontur Geometri diferensial Manifol Kelengkungan dari kurva dari permukaan Tensor Rumus Euler–Maclaurin Terompet Jibril Integration bee Bukti bahwa 22/7 melebihi π Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus