Limit sepihak

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.
Cari sumber: "Limit sepihak" – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR

{\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sgn} (x)} — Fungsi f ( x ) = x 2 + sgn ⁡ ( x ) {\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sgn}(x)} $f(x)=x^{2}+\operatorname {sgn} (x)$ (dengan sgn merupakan fungsi signum atau fungsi tanda) yang mempunyai limit kiri dari − 1 {\displaystyle -1} $-1$ , limit kanan dari + 1 {\displaystyle +1} $+1$ , dan sebuah nilai fungsi dari 0 {\displaystyle 0} $0$ di titik x = 0 {\displaystyle x=0} $x=0$ .

Dalam kalkulus, limit sepihak adalah limit yang mengacu pada dua limit fungsi f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ dari variabel bilangan real x {\displaystyle x} $x$ , ketika x {\displaystyle x} $x$ mendekati titik tertentu baik dari kiri atau dari kanan.

Limit sebagai x {\displaystyle x} $x$ menurun di nilai yang mendekati a {\displaystyle a} $a$ ( x {\displaystyle x} $x$ mendekati a {\displaystyle a} $a$ "dari kanan" atau "dari atas") dapat dilambangkan:

lim x → a + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)} $\lim _{x\to a^{+}}f(x)$ atau lim x ↓ a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\downarrow a}\,f(x)} $\lim _{x\downarrow a}\,f(x)$ atau lim x ↘ a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\searrow a}\,f(x)} $\lim _{x\searrow a}\,f(x)$ atau lim x ⟶ > a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x{\underset {>}{\longrightarrow }}a}f(x)} $\lim _{x{\underset {>}{\longrightarrow }}a}f(x)$

Limit dari x {\displaystyle x} $x$ menaik di nilai yang mendekati a {\displaystyle a} $a$ ( x {\displaystyle x} $x$ mendekati a {\displaystyle a} $a$ "dari kiri" atau "dari bawah") dapat dilambangkan:

lim x → a − f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)} $\lim _{x\to a^{-}}f(x)$ atau lim x ↑ a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\uparrow a}\,f(x)} $\lim _{x\uparrow a}\,f(x)$ atau lim x ↗ a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\nearrow a}\,f(x)} $\lim _{x\nearrow a}\,f(x)$ atau lim x ⟶ < a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x{\underset {<}{\longrightarrow }}a}f(x)} $\lim _{x{\underset {<}{\longrightarrow }}a}f(x)$

jika limit f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ ketika x {\displaystyle x} $x$ mendekati a {\displaystyle a} $a$ ada, maka limi dari sebelah kiri dan dari sebelah kanan juga ada. Pada beberapa kasus, dua limit sepihak tetap ada jika limit lim x → a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\,} $\lim _{x\to a}f(x)\,$ tidak ada. Akibatnya, limit dari nilai x {\displaystyle x} $x$ mendekati pada nilai a {\displaystyle a} $a$ terkadang disebut "dua sisi limit".^{[butuh rujukan]}

Definisi

Pada beberapa kasus, salah satu dari dua limit sepihak ada dan yang lainnya tidak, dan dalam beberapa kasus tidak ada. Limit sebelah kanan dapat didefinisikan dengan cermat sebagai

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ I , 0 < x − a < δ ⇒ | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I,\quad 0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon } $\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I,\quad 0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ ,

dan limit sebelah kiri dapat didefinisikan dengan cermat sebagai

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ I , 0 < a − x < δ ⇒ | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I,\quad 0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon } $\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I,\quad 0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ ,

dengan I {\displaystyle I} $I$ mewakili suatu selang yang ada di ranah pada nilai f {\displaystyle f} $f$ .

Hubungan dengan definisi topologis limit

Limit sepihak ke sebuah titik p {\displaystyle p} $p$ berpadanan dengan definisi limit umum, dengan ranah fungsi terbatas ke satu sisi, dengan memungkinkan bahwa ranah fungsinya adalah himpunan bagian dari ruang topologis, atau dengan menganggap sebuah subruang sepihak, termasuk p {\displaystyle p} $p$ . Secara bergantian, salah satunya dapat menganggap ranahnya dengan sebuah topologi selang setengah terbuka..

Lihat pula

l b s Kalkulus
Prakalkulus	Teorema binomial Fungsi cekung Fungsi kontinu Faktorial Beda hingga Variabel bebas dan variabel terikat Grafik fungsi Fungsi linear Radian Teorema Rolle Sekan Kemiringan Garis singgung
Limit (matematika)	Bentuk tak tentu Limit barisan Limit fungsi Limit sepihak Urutan aproksimasi definisi (ε, δ) dari limit
Kalkulus diferensial	Turunan Turunan kedua Turunan parsial Diferensial Operator diferensial Teorema nilai purata Notasi Notasi Leibniz Notasi Newton Kaidah pendiferensialan jumlahan linearitas pangkat Rantai L'Hôpital darab Aturan umum Leibniz Hasil-bagi Teknik lainnya Turunan implisit Turunan fungsi invers Turunan logaritmik Laju yang berkaitan Titik stasioner Uji turunan pertama Uji turunan kedua Teorema nilai ekstrem Maksimum dan minimum Penerapan lebih lanjut Metode Newton Teorema Taylor Persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa Persamaan diferensial parsial Persamaan diferensial stokastik Persamaan diferensial-integral
Kalkulus integral	Integral tak tentu Panjang busur Integral Riemann Sifat dasar Konstanta integrasi Teorema dasar kalkulus Kaidah integral Leibniz Pengintegralan parsial Integral substitusi Substitusi trigonometri Substitusi Euler Substitusi tangen setengah sudut Dekomposisi pecahan parsial Integral kuadratik Kaidah trapesium Volume Integrasi cakram Integrasi kulit Persamaan integral Persamaan diferensial-integral
Kalkulus vektor	Turunan Gradien Turunan berarah Divergensi Kerul Laplace Teorema dasar Integral garis Green Stokes Gauss
Kalkulus multivariabel	Turunan parsial Pengali Lagrange Integral lipat Integral garis Integral permukaan Integral volume Matriks Hesse Matriks Jacobi Geometrik Matrix Topik lanjutan Bentuk diferensial Luar Perumuman teorema Stokes Tensor
Deret	Barisan aritmetika-geometrik Jenis-jenis deret Geometrik Takhingga Harmonik Pangkat Taylor Maclaurin Selang-seling Binomial Fourier Deret teleskopik Uji konvergensi suku ke-n Rasio Akar Integral Perbandingan langsung Perbandingan limit Deret selang-seling Kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Fungsi dan bilangan khusus	Bilangan Bernoulli e (konstanta matematika) Fungsi eksponensial Logaritma alami Aproksimasi Stirling
Sejarah kalkulus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Fluksion Gottfried Wilhelm Leibniz Hukum kekontinuan Infinitesimal Isaac Newton Kalkulus infinitesimal Keumuman aljabar Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Daftar-daftar	Kaidah pendiferensialan Daftar limit Daftar integral Daftar integral dari fungsi eksponensial Daftar integral dari fungsi hiperbolik Daftar integral dari fungsi hiperbolik invers Daftar integral dari fungsi irasional Daftar integral dari fungsi logaritmik Daftar integral dari fungsi rasional Daftar integral dari fungsi trigonometrik invers Daftar integral dari fungsi trigonometrik Sekan Sekan kubik
Topik lainnya	Kalkulus kompleks Integral kontur Geometri diferensial Manifol Kelengkungan dari kurva dari permukaan Tensor Rumus Euler–Maclaurin Terompet Jibril Integration bee Bukti bahwa 22/7 melebihi π Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus