Persamaan integral

Untuk persamaan bilangan bulat tidak diketahui, lihat persamaan Diofantin.

Dalam matematika, Persamaan integral adalah persamaan di mana fungsi yang tidak diketahui muncul di bawah tanda integral.

Ada hubungan erat antara diferensial dan persamaan integral, dan beberapa masalah dapat dirumuskan dengan cara apa pun. Lihat, misalnya, Fungsi Green, teori Fredholm, dan Persamaan Maxwell.

Ikhtisar

Jenis paling dasar dari persamaan integral disebut persamaan Fredholm dari jenis pertama ,

f ( x ) = ∫ a b K ( x , t ) φ ( t ) d t . {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.} $f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.$

Notasinya mengikuti Arfken. Di sini φ adalah fungsi yang tidak diketahui, f adalah fungsi yang diketahui, dan K adalah fungsi lain yang diketahui dari dua variabel, sering disebut fungsi kernel. Perhatikan bahwa batas integrasi tidak berubah: inilah yang menjadi ciri persamaan Fredholm.

Jika fungsi yang tidak diketahui terjadi baik di dalam maupun di luar integral, persamaan tersebut dikenal sebagai persamaan Fredholm jenis kedua ,

φ ( x ) = f ( x ) + λ ∫ a b K ( x , t ) φ ( t ) d t . {\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.} $\varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.$

Parameter λ adalah faktor yang tidak diketahui, yang memainkan peran yang sama dengan nilai eigen di aljabar linear.

Jika salah satu batas integrasi adalah sebuah variabel, persamaan tersebut disebut Persamaan Volterra. Berikut ini disebut Persamaan Volterra jenis pertama dan kedua ,

f ( x ) = ∫ a x K ( x , t ) φ ( t ) d t {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt} $f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt$

φ ( x ) = f ( x ) + λ ∫ a x K ( x , t ) φ ( t ) d t . {\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.} $\varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.$

Dalam semua hal di atas, jika diketahui fungsinya f identik dengan nol, persamaan tersebut disebut persamaan integral homogen . Jika f bukan nol, ini disebut persamaan integral tak homogen .

Solusi numerik

Perlu dicatat bahwa persamaan integral sering kali tidak memiliki solusi analitik, dan harus diselesaikan secara numerik. Contohnya adalah mengevaluasi Persamaan Integral Medan Listrik (EFIE) atau Persamaan Integral Medan-Magnet (MFIE) pada objek berbentuk arbitrer dalam hamburan elektromagnetik

Salah satu metode untuk menyelesaikan secara numerik membutuhkan variabel diskritisasi dan mengganti integral dengan aturan kuadrat

∑ j = 1 n w j K ( s i , t j ) u ( t j ) = f ( s i ) , i = 0 , 1 , ⋯ , n . {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i}),\qquad i=0,1,\cdots ,n.} $\sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i}),\qquad i=0,1,\cdots ,n.$

Kemudian kita memiliki sistem dengan persamaan n dan variabel n. Dengan menyelesaikannya kita mendapatkan nilai variabel n

u ( t 0 ) , u ( t 1 ) , ⋯ , u ( t n ) . {\displaystyle u(t_{0}),u(t_{1}),\cdots ,u(t_{n}).} $u(t_{0}),u(t_{1}),\cdots ,u(t_{n}).$

Klasifikasi

Persamaan integral diklasifikasikan menurut tiga dikotomi berbeda, menghasilkan delapan jenis berbeda:

Batasan integrasi

keduanya tetap: persamaan Fredholm
satu variabel: Persamaan Volterra

Penempatan fungsi yang tidak diketahui

hanya di dalam integral: jenis pertama
baik di dalam maupun di luar integral: jenis kedua

Sifat fungsi yang diketahui f

identik dengan nol: homogen
tidak identik nol: tidak homogen

Persamaan integral penting dalam banyak aplikasi. Masalah di mana persamaan integral ditemui termasuk transfer radiasi, dan osilasi dari string, membran, atau poros. Masalah osilasi juga dapat diselesaikan sebagai persamaan diferensial.

Baik persamaan Fredholm dan Volterra adalah persamaan integral linier, karena perilaku linier φ ( x ) di bawah integral. Persamaan integral Volterra nonlinier memiliki bentuk umum:

φ ( x ) = f ( x ) + λ ∫ a x K ( x , t ) F ( x , t , φ ( t ) ) d t , {\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,\varphi (t))\,dt,} $\varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,\varphi (t))\,dt,$

di mana F adalah fungsi yang diketahui.

Persamaan integral Wiener – Hopf

Artikel utama: Metode Wiener–Hopf

y ( t ) = λ x ( t ) + ∫ 0 ∞ k ( t − s ) x ( s ) d s , 0 ≤ t < ∞ . {\displaystyle y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)x(s)ds,\qquad 0\leq t<\infty .} $y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)x(s)ds,\qquad 0\leq t<\infty .$

Awalnya, persamaan tersebut dipelajari sehubungan dengan masalah dalam transfer radiasi, dan baru-baru ini, mereka telah dikaitkan dengan penyelesaian persamaan integral batas untuk masalah planar di mana batas tersebut hanya mulus sebagian.

Solusi deret pangkat untuk persamaan integral

Dalam banyak kasus, jika Kernel dari persamaan integral berbentuk K(xt) dan transformasi Mellin dari K(t), kita dapat menemukan solusi dari persamaan integral

g ( s ) = s ∫ 0 ∞ d t K ( s t ) f ( t ) {\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }dtK(st)f(t)} $g(s)=s\int _{0}^{\infty }dtK(st)f(t)$

dalam bentuk deret pangkat

f ( t ) = ∑ n = 0 ∞ a n M ( n + 1 ) t n {\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}t^{n}} $f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}t^{n}$

where

g ( s ) = ∑ n = 0 ∞ a n s − n , M ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ d t K ( t ) t n {\displaystyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n},\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }dtK(t)t^{n}} $g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n},\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }dtK(t)t^{n}$

adalah Z - transformasi fungsinya g(s), dan M(n + 1) adalah transformasi Mellin dari Kernel.

Lihat pula: Deret Liouville–Neumann

Aplikasi

Ilmu aktuaria (teori kehancuran^[1])
Elektromagnetik komputasi
- Metode elemen batas
Masalah terbalik
- persamaan Marchenko (inverse scattering transform)
Penetapan harga opsi di bawah jump-difusi ^[2]
Transfer radiasi
Viskoelastisitas

Lihat pula

Referensi

↑ "Lecture Notes on Risk Theory" (PDF). 2010.
↑ Sachs, E. W.; Strauss, A. K. (2008-11-01). "Efficient solution of a partial integro-differential equation in finance". Applied Numerical Mathematics. 58 (11): 1687–1703. doi:10.1016/j.apnum.2007.11.002. ISSN 0168-9274.

Bacaan lebih lanjut

Kendall E. Atkinson The Numerical Solution of integral Equations of the Second Kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 1997.
George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
Harry Bateman (1910) History and Present State of the Theory of Integral Equations, Report of the British Association.
Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis Cambridge Mathematical Library.
M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow, 1971
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Chapter 19. Integral Equations and Inverse Theory". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (Edisi 3rd). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.