| Kalkulus | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
||||||
|
Khusus |
||||||
Integrasi cakram, dikenal dalam kalkulus integral sebagai metode cakram, adalah sebuah metode untuk menghitung volume sebuah benda putar dari sebuah material benda ketika mengintegrasi sepanjang sebuah sumbu "paralel" ke sumbu edar. Metode ini memodelkan hasil bentuk tiga dimensi sebagai sebuah tumpukan dari sebuah jumlah cakram jari-jari bervariasi yang tak terhingga dan ketebalan infinitesimal. ini juga memungkinkan untuk menggunakan prinsip-prinsip yang sama dengan gelanggang bukan cakram ("metode pencuci") untuk memperoleh benda putar yang berongga. Ini berlawanan dengan integrasi kulit, yang mengintegrasikan sepanjang sebuah sumbu tegak lurus dengan sumbu edar.
Definisi
Fungsi dari
x
{\displaystyle x}
Jika fungsi yang diputar adalah sebuah fungsi dari
x
{\displaystyle x}
π
∫
a
b
R
(
x
)
2
d
x
{\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,\mathrm {d} x}
di mana
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
Fungsi dari
y
{\displaystyle y}
Jika fungsi yang diputar adalah sebuah fungsi dari
y
{\displaystyle y}
π
∫
c
d
R
(
y
)
2
d
y
{\displaystyle \pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,\mathrm {d} y}
di mana
R
(
y
)
{\displaystyle R(y)}
Metode pencuci
Untuk memperoleh sebuah benda putar berongga ("metode pencuci"), tata caranya akan mengambil volume dari benda putar dalam dan menguranginya dari volume dari benda putar luar. Ini dapat dihitung dalam sebuah integral tunggal yang serupa dengan berikut.
π
∫
a
b
R
O
(
x
)
2
−
R
I
(
x
)
2
d
x
{\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\,\mathrm {d} x}
di mana
R
O
(
x
)
{\displaystyle R_{\mathrm {O} }(x)}
Volume benda ini adalah:
π
∫
0
1
(
(
x
)
2
−
(
x
2
)
2
)
d
x
{\displaystyle \pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,\mathrm {d} x}
Salah satunya harus berhati-hati untuk tidak mengevaluasi kuadrat dari selisih dari dua fungsi, tetapi untuk mengevaluasi selisih dari kuadrat dari dua fungsi.
R
O
(
x
)
2
−
R
I
(
x
)
2
≠
(
R
O
(
x
)
−
R
I
(
x
)
)
2
{\displaystyle R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq (R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x))^{2}}
(Rumus ini hanya bekerja untuk putaran mengenai sumbu-
x
{\displaystyle x}
Untuk memutar setiap sumbu horizontal, sederhanakan pengurangan dari sumbu itu setiap rumusnya. Jika
h
{\displaystyle h}
π
∫
a
b
(
(
h
−
R
O
(
x
)
)
2
−
(
h
−
R
I
(
x
)
)
2
)
d
x
{\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,\mathrm {d} x}
Misalnya, untuk memutar daerah antara
y
=
−
2
x
+
x
2
{\displaystyle y=-2x+x^{2}}
π
∫
0
3
(
(
4
−
(
−
2
x
+
x
2
)
)
2
−
(
4
−
x
)
2
)
d
x
{\displaystyle \pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,\mathrm {d} x}
Batas integrasi tersebut adalah nol dari persamaan pertama dikurangi dengan kedua. Perhatikan bahwa ketika mengintegrasi sepanjang sebuah sumbu selain
x
{\displaystyle x}
Gagasan yang sama dapat diterapkan pada kedua sumbu-
y
{\displaystyle y}
Lihat pula
Referensi
- "Volumes of Solids of Revolution". CliffsNotes.com. Diakses tanggal Juli 8, 2014.
{{cite web}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link) - (Inggris) Weisstein, Eric W. "Method of Disks". MathWorld.
- Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaum's Outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244–248 (online copy, hlm. 244, pada Google Books. Retrieved July 12, 2013.)
- "The Disk and Washer Methods" Avidemia.com