Integrasi Lebesgue-Stieltjes

Dalam analisis teori ukur dan cabang-cabang matematika yang berkaitan, integrasi Lebesgue-Stieltjes menggeneralisasi integral Riemann-Stieltjes dan integrasi Lebesgue, preserving banyak keuntungan dari yang terakhir dalam rangka teori ukur yang lebih umum.

Integral Lebesgue-Stieltjes dinamai menurut Henri Leon Lebesgue dan Thomas Joannes Stieltjes, juga dikenal sebagai integral Lebesgue-Radon atau integral Radon, menurut Johann Radon, yang menemukan banyak teori dalam topik ini. Mereka menemukan penerapan umum dalam teori probabilitas dan proses stokastik, dan dalam beberapa cabang analisis matematika termasuk teori potensial.

Konstruksi formal

( 1 ) μ w ( E ) := inf { ∑ j w ( I j ) : E ⊆ Ω , E ⊂ ⋃ j I j } , {\displaystyle (1)\quad \mu _{w}(E):=\inf \left\{\sum _{j}w(I_{j}):E\subseteq \Omega ,\,E\subset \bigcup _{j}I_{j}\right\},} $(1)\quad \mu _{w}(E):=\inf \left\{\sum _{j}w(I_{j}):E\subseteq \Omega ,\,E\subset \bigcup _{j}I_{j}\right\},$

∫ s d μ w = ∑ i a i μ w ( A i ) . {\displaystyle \int s\,d\mu _{w}=\sum _{i}a_{i}\mu _{w}(A_{i}).} $\int s\,d\mu _{w}=\sum _{i}a_{i}\mu _{w}(A_{i}).$

( 2 ) ∫ E f d μ w = sup { ∫ s d μ w E : s < f , s simple } , {\displaystyle (2)\quad \int _{E}f\,d\mu _{w}=\sup \left\{\int s\,d\mu _{w}^{E}:s<f,s\ {\mbox{simple}}\,\right\},} $(2)\quad \int _{E}f\,d\mu _{w}=\sup \left\{\int s\,d\mu _{w}^{E}:s<f,s\ {\mbox{simple}}\,\right\},$

∫ E f d μ w = ∫ E g d μ w − ∫ E h d μ w . {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{w}=\int _{E}g\,d\mu _{w}-\int _{E}h\,d\mu _{w}.} $\int _{E}f\,d\mu _{w}=\int _{E}g\,d\mu _{w}-\int _{E}h\,d\mu _{w}.$

( 3 ) μ v ( E ) = μ w 1 ( E ) − μ − w 2 ( E ) , {\displaystyle (3)\quad \mu _{v}(E)=\mu _{w_{1}}(E)-\mu _{-w_{2}}(E),} $(3)\quad \mu _{v}(E)=\mu _{w_{1}}(E)-\mu _{-w_{2}}(E),$

∫ E f d μ v = ( ∫ E g d μ w 1 − ∫ E h d μ w 1 ) − ( ∫ E g d μ − w 2 − ∫ E h d μ − w 2 ) , {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{v}=\left(\int _{E}g\,d\mu _{w_{1}}-\int _{E}h\,d\mu _{w_{1}}\right)-\left(\int _{E}g\,d\mu _{-w_{2}}-\int _{E}h\,d\mu _{-w_{2}}\right),} $\int _{E}f\,d\mu _{v}=\left(\int _{E}g\,d\mu _{w_{1}}-\int _{E}h\,d\mu _{w_{1}}\right)-\left(\int _{E}g\,d\mu _{-w_{2}}-\int _{E}h\,d\mu _{-w_{2}}\right),$

Referensi

Pustaka

Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9
Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
Saks, Stanislaw (1937) Theory of the Integral.
Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.