Proses stokastik

Dalam matematika, khususnya dalam ilmu teori peluang dan statistika, suatu proses stokastik merupakan suatu koleksi peubah acak X t {\displaystyle X_{t}} $X_{t}$ dengan t {\displaystyle t} $t$ merupakan suatu parameter atas suatu himpunan indeks (umumnya berkorespondensi dengan suatu unit waktu diskrit dengan himpunan indeks { 1 , 2 , … } {\displaystyle \{1,2,\ldots \}} $\{1,2,\ldots \}$ ).^[1] Proses stokastik merupakan salah satu cara untuk mengkuantifikasi hubungan antara sekumpulan peristiwa acak. Oleh karena itu, proses stokastik sering kali digunakan dalam memodelkan suatu sistem yang berubah secara acak seiring waktu, misalnya dalam bidang keuangan, biologi, dan lain-lain. Suatu proses stokastik umumnya dinotasikan sebagai { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} $\{X_{t}\}_{t\in T}$ atau { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} $\{X_{t}\}$ .

Klasifikasi

Ada beberapa cara untuk mengklasifikasi suatu proses stokastik, misalnya dengan menggunakan kardinalitas himpunan indeksnya dan ruang kondisi.^[2] Ketika himpunan indeksnya diinterpretasikan sebagai waktu dan memiliki kardinalitas yang berhingga atau terhitung (misalnya, himpunan bilangan asli), kita sebut sebagai proses stokastik waktu diskrit. Jika himpunan indeksnya merupakan interval dari bilangan riil, kita sebut sebagai proses stokastik waktu kontinu.

Contoh

Proses Bernoulli

Proses Bernoulli merupakan salah satu proses stokastik paling sederhana. Proses ini merupakan koleksi dari peubah acak saling bebas berdistribusi identik (iid) yang bernilai 0 atau 1 dengan peluang masing-masing p {\displaystyle p} $p$ dan 1 − p {\displaystyle 1-p} $1-p$ . Proses ini dapat dikaitkan dengan pelemparan sebuah koin (yang mungkin tidak adil) secara berulang kali.

Proses Markov

Proses Markov adalah proses stokastik yang memenuhi kondisi Markov. Yakni, diketahui kondisi pada waktu saat ini, peluang suatu kejadian di masa depan tidak dipengaruhi oleh informasi tambahan terkait perilaku prosesnya di masa lalu. Secara formal,

Pr { X n + 1 = j | X 0 = i 0 , … , X n − 1 = i n − 1 , X n = i } = Pr { X n + 1 = j | X n = i } {\displaystyle \Pr\{X_{n+1}=j|X_{0}=i_{0},\ldots ,X_{n-1}=i_{n-1},X_{n}=i\}=\Pr\{X_{n+1}=j|X_{n}=i\}} $\Pr\{X_{n+1}=j|X_{0}=i_{0},\ldots ,X_{n-1}=i_{n-1},X_{n}=i\}=\Pr\{X_{n+1}=j|X_{n}=i\}$

untuk setiap n , i 0 , … , i n − 1 , i , j {\displaystyle n,i_{0},\ldots ,i_{n-1},i,j} $n,i_{0},\ldots ,i_{n-1},i,j$ .

Referensi

↑ Howard M Taylor, Samuel Karlin (1998), An Introduction to Stochastic Modelling, Academic Press, hlm. 5, ISBN 9780126848878
↑ Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. hlm. 26. ISBN 978-0-08-057041-9.