Integral tak tentu

Dalam kalkulus, Integral tak tentu (bahasa Inggris:indefinite integral), atau disebut sebagai antiturunan^[1] atau antiderivatif (bahasa Inggris:antiderivative) adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut "integral tak tentu".

Bila fungsi F adalah integral tak tentu dari suatu fungsi f maka berlaku F'= f.

Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi. Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui "Teorema dasar kalkulus", dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Contoh

Sebagai contoh, F ( x ) = x 3 3 {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}} adalah antiturunan dari fungsi f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} , sebab turunan dari x 3 3 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}} adalah x 2 {\displaystyle x^{2}} serta turunan dari konstanta adalah nol. Ketika mencari integral tak tentu dari x 2 {\displaystyle x^{2}} , maka akan ada tak berhingga banyaknya antiturunan, seperti x 3 3 , x 3 3 + 1 , x 3 3 − 2 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2} , dst. Dengan demikian, semua integral tak tentu dari x 2 {\displaystyle x^{2}} dapat diperoleh dengan mengubah nilai c di F ( x ) = x 3 3 + c {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c} , dengan c menyatakan sebarang konstanta. Grafik antiturunan dari fungsi tersebut dapat digeser secara vertikal, tergantung nilai konstantanya. Hal ini juga berlaku untuk fungsi yang lebih umum, yaitu fungsi pangkat f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} , yang mempunyai antiturunan F ( x ) = x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c} jika n ≠ −1, dan F ( x ) = ln ⁡ | x | + c {\displaystyle F(x)=\ln |x|+c} if n = −1.

Penerapan dan sifat

Antiturunan dipakai untuk menghitung integral tentu, dengan menggunakan teorema dasar kalkulus: bila fungsi F {\displaystyle F} adalah antiturunan dari fungsi terintegralkan f {\displaystyle f} di interval [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , maka: ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).} Oleh karena itu, setiap antiturunan (yang tak berhingga banyaknya) dari fungsi f {\displaystyle f} dapat disebut sebagai "integral tak tentu" dari f {\displaystyle f} , dan antiturunan tersebut ditulis menggunakan simbol integral tanpa adanya batas. ∫ f ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)\,dx.}

Terdapat rumus lain dalam teorema dasar kalkulus. Setiap fungsi kontinu f {\displaystyle f} memiliki antiturunan, dan antiturunan F dirumuskan sebagai integral tak tentu dari f {\displaystyle f} dengan batas atas variabel: F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t . {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt.}

Terdapat banyak fungsi yang antiturunannya tidak dapat dinyatakan dalam fungsi elementer, seperti fungsi polinomial, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi invers trigonometri, dan juga gabungan fungsi-fungsi lain. Fungsi-fungsi yang dijelaskan tadi adalah fungsi galat, fungsi Fresnel, fungsi integral sinus, fungsi integral logaritmik, dan fungsi mimpi Sophomore.

Tabel integral

∫ 1 d x = x + C {\displaystyle \int 1\,\,{\rm {d}}x=x+C}

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C  jika  n ≠ − 1 {\displaystyle \int x^{n}\ \,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ jika }}n\neq -1}

∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C {\displaystyle \int {1 \over x}\,{\rm {d}}x=\ln {\left|x\right|}+C}

∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C {\displaystyle \int {1 \over {a^{2}+x^{2}}}\,{\rm {d}}x={1 \over a}\arctan {x \over a}+C}

Lihat pula

• Integral
• Daftar integral

Referensi

Pustaka

• Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• Historical Essay On Continuity Of Derivatives, by Dave L. Renfro; http://groups.google.com/group/sci.math/msg/814be41b1ea8c024

Basis data pengawasan otoritas
Internasional	GND
Nasional	Republik Ceko