Konstanta integrasi

Konstanta integrasi dalam kalkulus adalah suatu konstanta tambahan, sampai di mana integral suatu fungsi (yaitu himpunan semua antiderivatif fungsi itu) dapat didefinisikan.^[1]^[2] Konstanta ini mengekspresikan sebuah ambiguitas yang inheren dalam konstruksi antiderivatif. Jiks suatu fungsi f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ didefinisikan pada suatu interval dan F ( x ) {\displaystyle F(x)} $F(x)$ adalah antiderivatif f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ , maka himpunan semua antiderivatif f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ diberikan oleh fungsi F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} $F(x)+C$ , di mana C adalah konstanta sembarang. Konstanta integrasi kadang kala dihilangkan dalam tabel integral untuk penyederhanaan.

Asal mula konstanta

Turunan fungsi konstanta apapun adalah nol. Jika sudah didapatkan satu antiderivatif F ( x ) {\displaystyle F(x)} $F(x)$ untuk suatu fungsi f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ , penambahan atau pengurangan konstanta C apapun akan memberikan antiderivatif lain, karena ( F ( x ) + C ) ′ = F ′ ( x ) + C ′ = F ′ ( x ) {\displaystyle (F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)} $(F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)$ . Konstanta ini merupakan suatu cara mengekspresikan bahwa setiap fungsi mempunyai antiderivatif berbeda-beda dalam jumlah tak terhingga.

Misalnya, hendak ditemukan antiderivatif cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} $\cos(x)$ . Salah satu antiderivatif adalah sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)} $\sin(x)$ . Yang lain adalah sin ⁡ ( x ) + 1 {\displaystyle \sin(x)+1} $\sin(x)+1$ . Yang ketiga adalah sin ⁡ ( x ) − π {\displaystyle \sin(x)-\pi } $\sin(x)-\pi$ . Setiap fungsi ini mempunyai turunan cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} $\cos(x)$ , sehingga semuanya adalah antiderivatif cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} $\cos(x)$ .

Ternyata penambahan dan pengurangan konstanta adalah satu-satunya fleksibilitas yang tersedia dalam menemukan antiderivatif berbeda untuk fungsi yang sama; yaitu, semua antiderivatif adalah sama sampai suatu konstanta. Untuk mengekspresikan fakta ini bagi cos(x), dapat ditulis:

∫ cos ⁡ ( x ) d x = sin ⁡ ( x ) + C . {\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.} $\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.$

Menggantikan C dengan suatu bilangan akan menghasilkan sebuah antiderivatif. Namun, dengan menuliskan C, bukannya suatu bilangan, akan didapatkan pemerian singkat dari semua kemungkinan antiderivatif cos(x). C inilah yang disebut konstanta integrasi. Mudah ditentukan bahwa semua fungsi ini benar-benar antiderivatif cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} $\cos(x)$ :

d d x [ sin ⁡ ( x ) + C ] = d d x [ sin ⁡ ( x ) ] + d d x [ C ] = cos ⁡ ( x ) + 0 = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}} ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}$

Kebutuhan adanya konstanta

Sepintas konstanta itu tampaknya tidak dibutuhkan, karena dapat ditetapkan sebagai bilangan nol. Lebih lanjut, ketika mengevaluasi integral tertentu (definite integral) menggunakan teorema dasar kalkulus, kontanta itu selalu akan dibatalkan oleh dirinya sendiri.

Namun, upaya untuk menetapkan konstanta sama dengan nol tidak selalu masuk akal. Misalnya, 2 sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) {\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)} $2\sin(x)\cos(x)$ dapat diintegrasikan dalam, paling sedikit, tiga cara:

∫ 2 sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x = sin 2 ⁡ ( x ) + C = − cos 2 ⁡ ( x ) + 1 + C = − 1 2 cos ⁡ ( 2 x ) + C ∫ 2 sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x = − cos 2 ⁡ ( x ) + C = sin 2 ⁡ ( x ) − 1 + C = − 1 2 cos ⁡ ( 2 x ) + C ∫ 2 sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x = − 1 2 cos ⁡ ( 2 x ) + C = sin 2 ⁡ ( x ) + C = − cos 2 ⁡ ( x ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+C\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+C\end{aligned}}$

Jadi, menetapkan C sama dengan nol masih akan meninggalkan suatu konstanta. Ini berarti bahwa, untuk fungsi tertentu, tidak ada "antiderivatif paling sederhana".

Alasan perbedaan suatu konstanta di antara antiderivatif-antiderivatif

Hasil ini dapat dinyatakan secara formal dengan cara: misalkan F : R → R {\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } $F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ dan G : R → R {\displaystyle G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } $G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ adalah dua fungsi yang dapat dibedakan di mana saja. Seandainya ada F ′ ( x ) = G ′ ( x ) {\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)} $F\,'(x)=G\,'(x)$ untuk setiap bilangan real x, maka akan ada suatu bilangan real C sedemikian sehingga F ( x ) − G ( x ) = C {\displaystyle F(x)-G(x)=C} $F(x)-G(x)=C$ untuk setiap bilangan real x.

Untuk membuktikannya, perhatikan bahwa [ F ( x ) − G ( x ) ] ′ = 0 {\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0} $[F(x)-G(x)]'=0$ , maka F dapat diganti dengan F-G dan G dengan fungsi konstanta 0, sehingga menjadikan tujuan untuk membuktikan bahwa suatu fungsi yang dapat dibedakan di mana saja, yang turunannya selalu nol harus konstan:

Pilih sebuah bilangan reala, dan misalkan C = F ( a ) {\displaystyle C=F(a)} $C=F(a)$ . Untuk setiap x, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa:

∫ a x 0 d t = F ( x ) − F ( a ) = F ( x ) − C , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}0\,dt&=F(x)-F(a)\\&=F(x)-C,\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\int _{a}^{x}0\,dt&=F(x)-F(a)\\&=F(x)-C,\end{aligned}}$