Integral tak tentu

Definisi
Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total
Konsep
Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor
Kaidah dan identitas
Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno

Integral

Definisi
Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral
Integrasi secara
parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi

Deret

Uji kekonvergenan
geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor
uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel

Vektor

Teorema
Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas
Kedivergenan Gradien Green Stokes

Multivariabel

Formalisme
matriks tensor eksterior geometrik
Definisi
Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse

Khusus

Dalam kalkulus, Integral tak tentu (bahasa Inggris:indefinite integral), atau disebut sebagai antiturunan^[1] atau antiderivatif (bahasa Inggris:antiderivative) adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut "integral tak tentu".

Bila fungsi F adalah integral tak tentu dari suatu fungsi f maka berlaku F'= f.

Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi. Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui "Teorema dasar kalkulus", dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Contoh

Sebagai contoh, F ( x ) = x 3 3 {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}} $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}$ adalah antiturunan dari fungsi f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ , sebab turunan dari x 3 3 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}} ${\tfrac {x^{3}}{3}}$ adalah x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ serta turunan dari konstanta adalah nol. Ketika mencari integral tak tentu dari x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ , maka akan ada tak berhingga banyaknya antiturunan, seperti x 3 3 , x 3 3 + 1 , x 3 3 − 2 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2} ${\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2$ , dst. Dengan demikian, semua integral tak tentu dari x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ dapat diperoleh dengan mengubah nilai c di F ( x ) = x 3 3 + c {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c} $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c$ , dengan c menyatakan sebarang konstanta. Grafik antiturunan dari fungsi tersebut dapat digeser secara vertikal, tergantung nilai konstantanya. Hal ini juga berlaku untuk fungsi yang lebih umum, yaitu fungsi pangkat f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} $f(x)=x^{n}$ , yang mempunyai antiturunan F ( x ) = x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c} $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ jika n ≠ −1, dan F ( x ) = ln ⁡ | x | + c {\displaystyle F(x)=\ln |x|+c} $F(x)=\ln |x|+c$ if n = −1.

Penerapan dan sifat

Artikel utama: Teorema dasar kalkulus

Antiturunan dipakai untuk menghitung integral tentu, dengan menggunakan teorema dasar kalkulus: bila fungsi F {\displaystyle F} $F$ adalah antiturunan dari fungsi terintegralkan f {\displaystyle f} $f$ di interval [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} $[a,b]$ , maka: ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).} $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$ Oleh karena itu, setiap antiturunan (yang tak berhingga banyaknya) dari fungsi f {\displaystyle f} $f$ dapat disebut sebagai "integral tak tentu" dari f {\displaystyle f} $f$ , dan antiturunan tersebut ditulis menggunakan simbol integral tanpa adanya batas. ∫ f ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)\,dx.} $\int f(x)\,dx.$

Terdapat rumus lain dalam teorema dasar kalkulus. Setiap fungsi kontinu f {\displaystyle f} $f$ memiliki antiturunan, dan antiturunan F dirumuskan sebagai integral tak tentu dari f {\displaystyle f} $f$ dengan batas atas variabel: F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t . {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt.} $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt.$

Terdapat banyak fungsi yang antiturunannya tidak dapat dinyatakan dalam fungsi elementer, seperti fungsi polinomial, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi invers trigonometri, dan juga gabungan fungsi-fungsi lain. Fungsi-fungsi yang dijelaskan tadi adalah fungsi galat, fungsi Fresnel, fungsi integral sinus, fungsi integral logaritmik, dan fungsi mimpi Sophomore.

Tabel integral

Artikel utama: Tabel integral

∫ 1 d x = x + C {\displaystyle \int 1\,\,{\rm {d}}x=x+C} $\int 1\,\,{\rm {d}}x=x+C$

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C jika n ≠ − 1 {\displaystyle \int x^{n}\ \,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ jika }}n\neq -1} $\int x^{n}\ \,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ jika }}n\neq -1$

∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C {\displaystyle \int {1 \over x}\,{\rm {d}}x=\ln {\left|x\right|}+C} $\int {1 \over x}\,{\rm {d}}x=\ln {\left|x\right|}+C$

∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C {\displaystyle \int {1 \over {a^{2}+x^{2}}}\,{\rm {d}}x={1 \over a}\arctan {x \over a}+C} $\int {1 \over {a^{2}+x^{2}}}\,{\rm {d}}x={1 \over a}\arctan {x \over a}+C$

Lihat pula

Referensi

↑ Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII, ISBN 978-602-282-103-8, Jakarta 2015 http://bse.mahoni.com/data/2013/kelas_12sma/siswa/Kelas_12_SMA_Matematika_Siswa.pdf Diarsipkan 2020-03-31 di Wayback Machine

Pustaka

Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
Historical Essay On Continuity Of Derivatives, by Dave L. Renfro; http://groups.google.com/group/sci.math/msg/814be41b1ea8c024