Integrasi kulit

Definisi
Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total
Konsep
Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor
Kaidah dan identitas
Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno

Integral

Definisi
Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral
Integrasi secara
parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi

Deret

Uji kekonvergenan
geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor
uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel

Vektor

Teorema
Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas
Kedivergenan Gradien Green Stokes

Multivariabel

Formalisme
matriks tensor eksterior geometrik
Definisi
Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse

Khusus

Integrasi kulit, atau metode kulit dalam kalkulus integral adalah sebuah metode untuk menghitung volume benda putar, ketika mengintegrasi di sepanjang sebuah sumbu yang tegak lurus dengan sumbu putar. Cari ini merupakan kebalikan dengan integrasi cakram, metode yang mengintegrasikan di sepanjang sumbu yang sejajar dengan sumbu putar.

Definisi

Definisi metode kulit ini mengatakan sebagai berikut: Tinjaulah volume dalam tiga dimensi diperoleh dengan memutar sebuah tampang lintang dalam bidang- x y {\displaystyle xy} $xy$ di sekitar sumbu- y {\displaystyle y} $y$ . Misalkan tampang lintang didefinisikan dengan grafik dari fungsi positif f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ pada selang [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} $[a,b]$ . Maka rumus untuk volume adalah:

2 π ∫ a b x f ( x ) d x {\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,\mathrm {d} x} $2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,\mathrm {d} x$

Jika fungsi tersebut dari koordinat y {\displaystyle y} $y$ dan sumbu rotasi merupakan sumbu x {\displaystyle x} $x$ , maka rumus tersebut menjadi:

2 π ∫ a b y f ( y ) d y {\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,\mathrm {d} y} $2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,\mathrm {d} y$

Jika fungsi tersebut berputar di sekitar garis x = h {\displaystyle x=h} $x=h$ , maka rumus tersebut menjadi:^[1]

{ 2 π ∫ a b ( x − h ) f ( x ) d x , jika h ≤ a < b 2 π ∫ a b ( h − x ) f ( x ) d x , jika a < b ≤ h {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,\mathrm {d} x,&{\text{jika}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,\mathrm {d} x,&{\text{jika}}\ a<b\leq h\end{cases}}} ${\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,\mathrm {d} x,&{\text{jika}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,\mathrm {d} x,&{\text{jika}}\ a<b\leq h\end{cases}}$

dan untuk rotasi di sekitar y = k {\displaystyle y=k} $y=k$ akan menjadi

{ 2 π ∫ a b ( y − k ) f ( y ) d y , jika k ≤ a < b 2 π ∫ a b ( k − y ) f ( y ) d y , jika a < b ≤ k {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,\mathrm {d} y,&{\text{jika}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,\mathrm {d} y,&{\text{jika}}\ a<b\leq k\end{cases}}} ${\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,\mathrm {d} y,&{\text{jika}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,\mathrm {d} y,&{\text{jika}}\ a<b\leq k\end{cases}}$

Rumus tersebut diturunkan dengan menghitung integral ganda dalam koordinat polar.

Contoh

Pada gambar, tinjaulah volume benda yang tampang lintang pada selang [ 1 , 2 ] {\displaystyle [1,2]} $[1,2]$ didefinisikan dengan

y = ( x − 1 ) 2 ( x − 2 ) 2 {\displaystyle y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}} $y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}$

Tampang lintang

Volume 3D

Dalam kasus integrasi cakram, kita harus selesaikan untuk x {\displaystyle x} $x$ yang diberikan y {\displaystyle y} $y$ dan karena volume tersebut ada rongga di tengahnya, kita akan mencari dua fungsi: fungsi yang pertama didefinisikan di ruang dalam, dan fungsi yang satu lagi didefinisikan di ruang luar. Setelah mengintegrasikan kedua fungsi ini dengan metode cakram, kita akan menguranginya sehingga menghasilkan volume yang diinginkan.

Dengan metode kulit, yang kita perlu adalah menggunakan rumus berikut:

2 π ∫ 1 2 x ( ( x − 1 ) 2 ( x − 2 ) 2 ) d x {\displaystyle 2\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,\mathrm {d} x} $2\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,\mathrm {d} x$

Dengan memperluas polinomial, maka bentuk pada integral di atas tampak lebih sederhana. Setelah menghitungnya, kita mendapatkan bahwa volume tersebut adalah π 10 {\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{10}}} $\textstyle {\frac {\pi }{10}}$ satuan kubik.

Lihat pula

Referensi

↑ Heckman, Dave (2014). "Volume – Shell Method" (PDF). Diakses tanggal 2016-09-28.

(Inggris)Weisstein, Eric W. "Method of Shells". MathWorld.
Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaum's Outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244–248 (online copy, hlm. 244, pada Google Books
"The Shell Method" di Avidemia.com

l b s Kalkulus
Prakalkulus	Teorema binomial Fungsi cekung Fungsi kontinu Faktorial Beda hingga Variabel bebas dan variabel terikat Grafik fungsi Fungsi linear Radian Teorema Rolle Sekan Kemiringan Garis singgung
Limit (matematika)	Bentuk tak tentu Limit barisan Limit fungsi Limit sepihak Urutan aproksimasi definisi (ε, δ) dari limit
Kalkulus diferensial	Turunan Turunan kedua Turunan parsial Diferensial Operator diferensial Teorema nilai purata Notasi Notasi Leibniz Notasi Newton Kaidah pendiferensialan jumlahan linearitas pangkat Rantai L'Hôpital darab Aturan umum Leibniz Hasil-bagi Teknik lainnya Turunan implisit Turunan fungsi invers Turunan logaritmik Laju yang berkaitan Titik stasioner Uji turunan pertama Uji turunan kedua Teorema nilai ekstrem Maksimum dan minimum Penerapan lebih lanjut Metode Newton Teorema Taylor Persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa Persamaan diferensial parsial Persamaan diferensial stokastik Persamaan diferensial-integral
Kalkulus integral	Integral tak tentu Panjang busur Integral Riemann Sifat dasar Konstanta integrasi Teorema dasar kalkulus Kaidah integral Leibniz Pengintegralan parsial Integral substitusi Substitusi trigonometri Substitusi Euler Substitusi tangen setengah sudut Dekomposisi pecahan parsial Integral kuadratik Kaidah trapesium Volume Integrasi cakram Integrasi kulit Persamaan integral Persamaan diferensial-integral
Kalkulus vektor	Turunan Gradien Turunan berarah Divergensi Kerul Laplace Teorema dasar Integral garis Green Stokes Gauss
Kalkulus multivariabel	Turunan parsial Pengali Lagrange Integral lipat Integral garis Integral permukaan Integral volume Matriks Hesse Matriks Jacobi Geometrik Matrix Topik lanjutan Bentuk diferensial Luar Perumuman teorema Stokes Tensor
Deret	Barisan aritmetika-geometrik Jenis-jenis deret Geometrik Takhingga Harmonik Pangkat Taylor Maclaurin Selang-seling Binomial Fourier Deret teleskopik Uji konvergensi suku ke-n Rasio Akar Integral Perbandingan langsung Perbandingan limit Deret selang-seling Kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Fungsi dan bilangan khusus	Bilangan Bernoulli e (konstanta matematika) Fungsi eksponensial Logaritma alami Aproksimasi Stirling
Sejarah kalkulus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Fluksion Gottfried Wilhelm Leibniz Hukum kekontinuan Infinitesimal Isaac Newton Kalkulus infinitesimal Keumuman aljabar Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Daftar-daftar	Kaidah pendiferensialan Daftar limit Daftar integral Daftar integral dari fungsi eksponensial Daftar integral dari fungsi hiperbolik Daftar integral dari fungsi hiperbolik invers Daftar integral dari fungsi irasional Daftar integral dari fungsi logaritmik Daftar integral dari fungsi rasional Daftar integral dari fungsi trigonometrik invers Daftar integral dari fungsi trigonometrik Sekan Sekan kubik
Topik lainnya	Kalkulus kompleks Integral kontur Geometri diferensial Manifol Kelengkungan dari kurva dari permukaan Tensor Rumus Euler–Maclaurin Terompet Jibril Integration bee Bukti bahwa 22/7 melebihi π Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus