Teorema binomial

Dalam aljabar elementer, teorema binomial adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (x + y)ⁿ menjadi sebuah penjumlahan dari suku-suku dengan bentuk ax^by^c, di mana eksponen b dan c adalah bilangan bulat non negatif dengan b + c = n, dan koefisien a dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada n dan b. Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,

( x + y ) 4 = x 4 y 0 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + x 0 y 4 . {\displaystyle (x+y)^{4}\;=\;x^{4}y^{0}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,x^{0}y^{4}.}

( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 . {\displaystyle (x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.}

Koefisien a pada suku ax^by^c dikenal sebagai koefisien binomial ( n b ) {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} atau ( n c ) {\displaystyle {\tbinom {n}{c}}} (keduanya memiliki nilai yang sama). Koefisien untuk setiap variasi n dan b dapat disusun membentuk segitiga Pascal. Angka-angka ini juga muncul dalam kombinatorika, di mana ( n b ) {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} menunjukkan banyaknya kombinasi yang berbeda dari unsur b yang dapat dipilih dari suatu himpunan dengan unsur sebanyak n.

Sejarah

Peristiwa-peristiwa khusus terkait teorema binomial yang diketahui sejak zaman kuno diikhtisarkan berikut ini:

Abad ke-4 SM [[matematikawan Yunani]] Euklides menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2.^[1][2] Ada bukti bahwa teorema binomial untuk kubus telah diketahui pada abad ke-6 di India.^[1][2]

Koefisien binomial, seperti jumlah kombinasi yang menunjukkan banyak cara untuk memilih k objek dari n tanpa penggantian, telah menjadi perhatian orang-orang Hindu kuno. Referensi paling awal yang diketahui mengenai permasalahan kombinasi ini adalah Chandaḥśāstra karya penulis Hindu, Pingala (sekitar 200 SM), yang memuat suatu metode untuk solusinya.^[3]: 230 Seorang peneliti bernama Halayudha dari abad ke-10 M menjelaskan mengenai metode ini menggunakan yang kini dikenal sebagai segitiga Pascal.^[3] Pada abad ke-6 M, matematikawan Hindu mungkin telah mengetahui cara menunjukkannya dalam sebuah persamaan n ! ( n − k ) ! k ! {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}} ,^[4] dan suatu pernyataan yang jelas mengenai aturan ini dapat ditemukan dalam naskah abad ke-12 Lilavati karya Bhaskara.^[4]

Teorema binomial yang sama dapat ditemukan pada hasil tulisan matematikawan Persia abad ke-11, Al-Karaji, yang menggambarkan pola segitiga dari koefisien binomial.^[5] Ia juga memberikan pembuktian matematika dari teorema binomial dan segitiga dengan menggunakan suatu bentuk sederhana dari induksi matematika.^[5] Penyari dan matematikawan Persia Umar Khayyām mungkin telah akrab dengan rumus-rumus dengan pangkat yang lebih tinggi, meskipun banyak karya-karya matematikanya hilang.^[2] Ekspansi binomial dengan derajat kecil telah diketahui oleh matematikawan abad ke-13 bernama Yang Hui^[6] dan Zhu Shijie.^[2] Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke-11 tulisan Jia Xian, meskipun tulisan-tulisannya kini juga hilang.^[3]: 142

Pernyataan teorema

Berdasarkan teorema binomial, dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen dari x + y menjadi suatu penjumlahan dengan bentuk

( x + y ) n = ( n 0 ) x n y 0 + ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x 1 y n − 1 + ( n n ) x 0 y n , {\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}

di mana setiap ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai koefisien binomial. Rumus ini dikenal juga sebagai rumus binomial atau identitas binomial. Dengan menggunakan notasi penjumlahan, rumus itu dapat ditulis

( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k . {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}

Ekspresi akhir mengikuti ekspresi sebelumnya dengan cara menukar letak x dan y dari ekspresi pertama, dan dengan perbandingan keduanya diketahui bahwa urutan koefisien binomial dalam rumus tersebut adalah simetris.

Sebuah varian sederhana dari rumus binomial diperoleh dengan mensubstitusi y dengan 1, sehingga hanya terdapat satu variabel. Dengan bentuk ini, rumus akan menjadi

( 1 + x ) n = ( n 0 ) x 0 + ( n 1 ) x 1 + ( n 2 ) x 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x n − 1 + ( n n ) x n , {\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},}

atau ekuivalen

( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k . {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.}

Contoh

Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk x + y kuadrat

( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 . {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!}

Koefisien binomial 1, 2, 1 muncul dalam pengembangan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal. Koefisien tingkat yang lebih tinggi dari x + y sesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga itu:

( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 , ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 , ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 , ( x + y ) 6 = x 6 + 6 x 5 y + 15 x 4 y 2 + 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 + 6 x y 5 + y 6 , ( x + y ) 7 = x 7 + 7 x 6 y + 21 x 5 y 2 + 35 x 4 y 3 + 35 x 3 y 4 + 21 x 2 y 5 + 7 x y 6 + y 7 . {\displaystyle {\begin{aligned}\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}}

Perhatikan bahwa:

1. Eksponen dari x {\displaystyle x} menurun hingga mencapai 0 ( x 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=1} ) dengan nilai awal adalah n (n pada ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} ).
2. Eksponen dari y {\displaystyle y} naik dari 0 ( y 0 = 1 {\displaystyle y^{0}=1} ) hingga mencapai n (juga n pada ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} ).
3. Baris ke-n pada segitiga Pascal akan menjadi koefisien binomial yang dikembangkan (perhatikan bahwa puncaknya adalah baris 0).
4. Untuk setiap baris, jumlah semua unsur (yaitu jumlah dari koefisien) sama dengan 2 n {\displaystyle 2^{n}} .
5. Untuk setiap baris, banyaknya unsur sama dengan n + 1 {\displaystyle n+1} .

Teorema binomial dapat diterapkan ke eksponen dari binomial apapun. Contohnya,

( x + 4 ) 3 = x 3 + 3 x 2 ( 4 ) + 3 x ( 4 ) 2 + 4 3 = x 3 + 12 x 2 + 48 x + 64. {\displaystyle {\begin{aligned}(x+4)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(4)+3x(4)^{2}+4^{3}\\&=x^{3}+12x^{2}+48x+64.\end{aligned}}}

Untuk binomial dalam pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan rumus (x − y)ⁿ = (x + (−y))ⁿ. Rumus ini memberikan pengaruh berubahnya tanda pada setiap suku yang jika dikembangkan:

( x − y ) 3 = x 3 − 3 x 2 y + 3 x y 2 − y 3 . {\displaystyle (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.\!}

Penjelasan geometris

Untuk setiap a dan b bernilai positif, teorema binomial dengan n = 2 adalah fakta bukti geometris bahwa sebuah bujur sangkar dengan sisi a + b dapat dipotong menjadi sebuah bujur sangkar dengan sisi a, sebuah bujur sangkar dengan sisi b, dan dua persegi panjang dengan sisi a dan b. Dengan n = 3, teorema binomial menyatakan bahwa sebuah kubus dengan sisi a + b dapat dipotong-potong menjadi sebuah kubus dengan sisi a, sebuah kubus dengan sisi b, tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×a×b, dan tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×b×b.

Dalam kalkulus, gambar ini juga memberikan bukti geometris bahwa turunan ( x n ) ′ = n x n − 1 : {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:} ^[7] jika ditentukan a = x {\displaystyle a=x} dan b = Δ x , {\displaystyle b=\Delta x,} dengan menginterpretasi b sebagai suatu perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam a, maka gambar ini menunjukkan perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam volume sebuah hiperkubus berdimensi n, ( x + Δ x ) n , {\displaystyle (x+\Delta x)^{n},} dengan suku koefisien linearnya (dalam Δ x {\displaystyle \Delta x} ) adalah n x n − 1 , {\displaystyle nx^{n-1},} wilayah dengan n permukaan, dimensi masing-masing ( n − 1 ) : {\displaystyle (n-1):}

( x + Δ x ) n = x n + n x n − 1 Δ x + ( n 2 ) x n − 2 ( Δ x ) 2 + ⋯ . {\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\tbinom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}

Dengan menggantinya menjadi suatu turunan melalui suatu Kuosien (bilangan yang merupakan sisa hasil bagi) Diferensiasi (penghitungan nilai turunan) [apabila digabungkan yaitu Kuosien Diferensiasi: istilah penggambaran rasio suatu fungsi terhadap perubahan nilai variabel bebas] dan memasukkan limit: yang berarti bahwa suku berpangkat lebih tinggi – ( Δ x ) 2 {\displaystyle (\Delta x)^{2}} dan lebih tinggi – sehingga diabaikan, dan menghasilkan rumus ( x n ) ′ = n x n − 1 , {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},} yang diinterpretasikan sebagai

"tingkat perubahan sangat kecil dalam volume suatu kubus dengan panjang sisi n bervariasi pada rentang n dari permukaannya yang berdimensi ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} ".

Catatan

Referensi