Integral substitusi

Definisi
Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total
Konsep
Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor
Kaidah dan identitas
Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno

Integral

Definisi
Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral
Integrasi secara
parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi

Deret

Uji kekonvergenan
geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor
uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel

Vektor

Teorema
Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas
Kedivergenan Gradien Green Stokes

Multivariabel

Formalisme
matriks tensor eksterior geometrik
Definisi
Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse

Khusus

Dalam bidang kalkulus, integral substitusi atau substitusi-u adalah salah satu metode untuk mencari integral dengan mensubstitusi salah satu variabel dan mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Pengantar

Sebelum menyatakan hasilnya dengan teliti, mari kita periksa kasus sederhana menggunakan integral tak tentu.

Menghitung ∫ ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( x 2 ) d x {\displaystyle \textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx} $\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx$ .^[1]

Kumpulan nilai u = 2 x 3 + 1 {\displaystyle u=2x^{3}+1} $u=2x^{3}+1$ . Hal tersebut berarti d u d x = 6 x 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}} $\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}$ , atau, dalam bentuk diferensial pada d u = 6 x 2 d x {\displaystyle du=6x^{2}\,dx} $du=6x^{2}\,dx$ . Sekarang

∫ ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( x 2 ) d x = 1 6 ∫ ( 2 x 3 + 1 ) 7 ⏟ u 7 ( 6 x 2 ) d x ⏟ d u = 1 6 ∫ u 7 d u = 1 6 ( 1 8 u 8 ) = 1 48 ( 2 x 3 + 1 ) 8 + C . {\displaystyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C.} $\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C.$

Prosedur tersebut sering digunakan, tetapi tidak semua integral dalam bentuk yang memungkinkan penggunaannya. Bagaimanapun, hasil harus diverifikasi dengan membedakan dan membandingkan dengan integral asli.

d d x [ 1 48 ( 2 x 3 + 1 ) 8 ] = 1 6 ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( 6 x 2 ) = ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( x 2 ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).} ${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).$

Untuk integral tertentu, batas integrasi juga harus disesuaikan, tetapi prosedurnya sebagian besar sama.

Integral tentu

Misalkan φ : [a,b] → I menjadikan fungsi yang dapat dibedakan dengan turunan kontinu, darimana I ⊆ R adalah sebuah interval. Seandainya nilai pada f : I → R adalah fungsi berkelanjutan. Kemudian, apakah u = φ(x)^[2]

∫ a b f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) d x = ∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u ) d u . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du.} $\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du.$

Dalam notasi Leibniz, substitusi pada u = φ(x) menghasilkan nilai

d u d x = φ ′ ( x ) . {\displaystyle {\frac {du}{dx}}=\varphi '(x).} ${\frac {du}{dx}}=\varphi '(x).$

Bekerja secara heuristik dengan infinitesimal, menghasilkan persamaan

d u = φ ′ ( x ) d x , {\displaystyle du=\varphi '(x)\,dx,} $du=\varphi '(x)\,dx,$

Hasil rumus substitusi di atas. (Persamaan ini dapat diletakkan di atas dasar yang kuat dengan menafsirkannya sebagai pernyataan tentang bentuk diferensial.) Seseorang dapat melihat metode integrasi dengan substitusi sebagai justifikasi parsial pada notasi Leibniz untuk integral dan turunan.

Bukti

Integrasi dengan substitusi dapat diturunkan dari teorema dasar kalkulus sebagai berikut. Mari cari nilai f dan φ menjadi dua fungsi yang memenuhi hipotesis di atas itu f terus menerus I dan φ′ dapat diintegrasikan pada interval tertutup [a,b]. Setelah itu fungsi pada f(φ(x))φ′(x)

∫ a b f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx} $\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx$

dan

∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u ) d u {\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du} $\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du$

darimana u = φ(x) pada kenyataannya ada, dan tetap menunjukkan bahwa mereka setara.

Setelah φ dapat dibedakan, menggabungkan aturan rantai dan definisi pemberian antiturunan

( F ∘ φ ) ′ ( x ) = F ′ ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) = f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) . {\displaystyle (F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).} $(F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).$

Menerapkan teorema dasar kalkulus dua kali memberi

∫ a b f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) d x = ∫ a b ( F ∘ φ ) ′ ( x ) d x = ( F ∘ φ ) ( b ) − ( F ∘ φ ) ( a ) = F ( φ ( b ) ) − F ( φ ( a ) ) = ∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u ) d u , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}$

yang merupakan aturan substitusi.

Contoh

Perhatikan integral berikut: ∫ 0 2 x cos ⁡ ( x 2 + 1 ) d x {\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx} $\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx$

Jika kita melakukan substitusi u = (x² + 1), maka diperoleh du = 2x dx, sehingga x dx = ½du. Lalu kita substitusikan ke dalam integralnya:

∫ x = 0 x = 2 x cos ⁡ ( x 2 + 1 ) d x = 1 2 ∫ u = 1 u = 5 cos ⁡ ( u ) d u = 1 2 ( sin ⁡ ( 5 ) − sin ⁡ ( 1 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&{}={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&{}={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&{}={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&{}={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}$

Perlu diingat bahwa di sini batas bawah x = 0 diganti dengan u = 0² + 1 = 1, dan batas atas x = 2 diganti dengan u = 2² + 1 = 5, sehingga dalam kasus ini u tidak perlu diubah kembali menjadi x.

Untuk integral: ∫ 0 1 1 − x 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx} $\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx$

Substitusi yang sebaiknya dilakukan adalah x = sin(u), dx = cos(u) du, karena ( 1 − sin 2 ⁡ ( u ) ) = cos ⁡ ( u ) {\displaystyle {\sqrt {(1-\sin ^{2}(u))}}=\cos(u)} ${\sqrt {(1-\sin ^{2}(u))}}=\cos(u)$ :

∫ 0 1 1 − x 2 d x = ∫ 0 π 2 1 − sin 2 ⁡ ( u ) cos ⁡ ( u ) d u = ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ ( u ) d u = ( u 2 + sin ⁡ ( 2 u ) 4 ) | 0 π 2 = π 4 + 0 = π 4 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\cos(u)\;du=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(u)\;du={\Bigg (}{{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}{\Bigg )}{\Bigg \vert }\,}_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{4}}+0={\frac {\pi }{4}}} $\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\cos(u)\;du=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(u)\;du={\Bigg (}{{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}{\Bigg )}{\Bigg \vert }\,}_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{4}}+0={\frac {\pi }{4}}$

di mana c o s 2 u = 1 + c o s 2 u 2 {\displaystyle cos^{2}u={\frac {1+cos2u}{2}}} $cos^{2}u={\frac {1+cos2u}{2}}$

Metode substitusi dapat digunakan untuk mencari antiturunan, yaitu dengan menentukan hubungan antara x dan u serta dx dan du. Berikut adalah contohnya

∫ x cos ⁡ ( x 2 + 1 ) d x = 1 2 ∫ 2 x cos ⁡ ( x 2 + 1 ) d x = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u = 1 2 sin ⁡ u + C = 1 2 sin ⁡ ( x 2 + 1 ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&{}={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C\end{aligned}}} ${\begin{aligned}&{}\quad \int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&{}={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C\end{aligned}}$

Catatan

↑ 43 tahun Swokowsi 1983, p. 258
↑ 15 tahun Briggs & Cochran 2011, pg.361

Referensi

Briggs, William; Cochran, Lyle (2011), Kalkulus/Transendental Awal (Edisi Single Variable), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
Ferzola, Anthony P. (1994), "Euler dan perbedaan", Jurnal Matematika Perguruan Tinggi, 25 (2): 102–111, doi:10.2307/2687130
Fremlin, D.H. (2010), Teori Ukur, Volume 2, Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4.
Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Analisis Nyata dan Abstrak, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
Katz, V. (1982), "Perubahan variabel dalam beberapa integral: Euler ke Cartan", Majalah Matematika, 55 (1): 3–11, doi:10.2307/2689856
Rudin, Walter (1987), Analisis Nyata dan Kompleks, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
Swokowski, Earl W. (1983), Kalkulus dengan geometri analitik (Edisi alternate), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
Spivak, Michael (1965), Kalkulus pada Manifold, Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.