 | Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu. Cari sumber: "Fungsi linear" kalkulus – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR |
 | Artikel ini kekurangan informasi kasus fungsi multivariat dan fungsi nilai vektor, yang harus dipertimbangkan, karena artikel ini ditautkan dari matriks Jacobian. Tolong kembangkan artikel dengan melengkapi informasi yang relevan. Rincian lebih lanjut mungkin tersedia di halaman pembicaraan. (February 2020) |
Dalam matematika, istilah fungsi linear dapat mengacu kepada salah satu dari dua konsep berbeda namun berhubungan:
- Fungsi polinomial orde satu, satu variabel;
- Peta antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar
Geometri analitis
Dalam geometri analitis, istilah fungsi linear kadang-kadang digunakan dengan maksud fungsi polinomial orde satu dari variabel tunggal. Fungsi ini disebut linear karena grafiknya pada bidang Cartesius adalah garis lurus.
Fungsi seperti itu dapat ditulis sebagai:
-
f
(
x
)
=
m
x
+
b
{\displaystyle f(x)=mx+b}
-
(
y
−
y
1
)
=
m
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle (y-y1)=m(x-x1)}
-
0
=
A
x
+
B
y
+
C
{\displaystyle 0=Ax+By+C}
dengan
m
{\displaystyle m}
Contoh fungsi yang grafiknya berupa garis lurus adalah:
-
f
1
(
x
)
=
2
x
+
1
{\displaystyle f_{1}(x)=2x+1}
-
f
2
(
x
)
=
x
/
2
+
1
{\displaystyle f_{2}(x)=x/2+1}
-
f
3
(
x
)
=
x
/
2
−
1.
{\displaystyle f_{3}(x)=x/2-1.}
Grafiknya ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.
Ruang vektor
Dalam matematika lanjut, sebuah fungsi linear berarti fungsi yang merupakan pemetaan linear, yaitu pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar.
Contohnya, bila
x
{\displaystyle x}
-
f
(
x
)
=
M
x
,
{\displaystyle f(x)=\mathrm {M} x,}
dengan M adalah matriks. Sebuah fungsi
-
f
(
x
)
=
m
x
+
b
{\displaystyle f(x)=mx+b}
adalah peta linear jika dan hanya jika
b
{\displaystyle b}
Sifat
Fungsi linear adalah fungsi polinomial di mana variabel x memiliki paling banyak satu derajat:[1]
-
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
.
Fungsi seperti itu disebut linear karena grafik, himpunan semua titik
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle (x,f(x))}
Jika kemiringannya
a
=
0
{\displaystyle a=0}
Jika
b
=
0
{\displaystyle b=0}
Domain alami dari fungsi linear
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Grafik
y
=
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=f(x)=ax+b}
Titik potong-lereng, kemiringan titik, dan bentuk dua titik
Fungsi linier tertentu
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
-
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
dari mana seseorang dapat langsung melihat kemiringan a dan nilai awal
f
(
0
)
=
b
{\displaystyle f(0)=b}
Diberikan kemiringan a dan satu nilai yang diketahui
f
(
x
0
)
=
y
0
{\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}
-
f
(
x
)
=
a
(
x
−
x
0
)
+
y
0
{\displaystyle f(x)=a(x{-}x_{0})+y_{0}}
.
Dalam istilah grafis, ini memberikan garis
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
Bentuk dua titik dimulai dengan dua nilai yang diketahui
f
(
x
0
)
=
y
0
{\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}
-
f
(
x
)
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
x
−
x
0
)
+
y
0
{\displaystyle f(x)={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x{-}x_{0}\!)+y_{0}}
.
Grafiknya
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
-
y
−
y
0
x
−
x
0
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
{\displaystyle {\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}
.
Hubungan dengan kelas fungsi lainnya
Jika koefisien variabel tidak nol (a ≠ 0), maka fungsi linier diwakili oleh a derajat 1 polinomial (juga disebut polinomial linear ), jika tidak, ini adalah fungsi konstan - juga fungsi polinomial, tetapi derajat nol.
Sebuah garis lurus, ketika digambar dalam jenis sistem koordinat yang berbeda dapat mewakili fungsi lain.
Misalnya, ini mungkin mewakili fungsi eksponensial ketika nilai diekspresikan dalam skala logaritmik. Artinya ketika log(g(x)) adalah fungsi linier dari x, fungsi g adalah eksponensial. Dengan fungsi linier, menambah input sebesar satu unit menyebabkan output meningkat dengan jumlah yang tetap, yang merupakan kemiringan grafik fungsi. Dengan fungsi eksponensial, menambah input sebesar satu unit menyebabkan output meningkat dengan kelipatan tetap, yang dikenal sebagai basis dari fungsi eksponensial.
Jika keduanya argumen dan nilai suatu fungsi berada dalam skala logaritmik (yaitu, ketika log(y) adalah fungsi linier dari log(x)), maka garis lurus melambangkan hukum pangkat:
-
log
r
y
=
a
log
r
x
+
b
⇒
y
=
r
b
⋅
x
a
{\displaystyle \log _{r}y=a\log _{r}x+b\quad \Rightarrow \quad y=r^{b}\cdot x^{a}}
Di sisi lain, grafik dari fungsi linear dalam hal koordinat polar:
-
r
=
f
(
θ
)
=
a
θ
+
b
{\displaystyle r=f(\theta )=a\theta +b}
adalah spiral Archimedean if
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
Lihat pula
Catatan
- ↑ Stewart 2012, p. 24
- ↑ Swokowski 1983, p. 34
Referensi
- James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN978-0-538-49790-9
- Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Edisi Alternate), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0871503417
Pranala luar
- (Inggris) Linear Functions on Id Mind Diarsipkan 2007-08-12 di Wayback Machine
- (Inggris) Interactive tool to explore linear functions Diarsipkan 2023-03-26 di Wayback Machine
| Fungsi polinomial |
|
|---|---|
| Fungsi aljabar | |
| Fungsi dalam teori bilangan | |
| Fungsi trigonometri | |
| Fungsi berdasarkan huruf Yunani |
|
| Fungsi berdasarkan nama matematikawan |
|
| Fungsi khusus | |
| Fungsi lainnya | |
