Derajat polinomial adalah derajat tertinggi dari monomialnya (istilah individual) dengan koefisien tidak nol. Istilah orde biasanya digunakan dalam penyebutan derajat. Misalnya, dalam polinomial
7
x
2
y
3
+
4
x
−
9
,
{\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}
Untuk menentukan derajat polinomial yang tidak dalam bentuk standar (misalnya:
(
x
+
1
)
2
−
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}
Nama polinomial menurut derajat
Nama-nama berikut diberikan untuk polinomial sesuai derajatnya:[1][2][3]
- Kasus khusus - nol
- Derajat 0 - konstanta tidak nol [4]
- Derajat 1 - linear
- Derajat 2 - kuadratik
- Derajat 3 - kubik
- Derajat 4 - kuartik (atau bikuadratik jika semua suku memiliki derajat genap)
- Derajat 5 - quintik
- Derajat 6 - sekstik (heksik)
- Derajat 7 - septik (heptik)
Untuk derajat yang lebih tinggi, terdapat nama-nama yang diusulkan,[5] namun jarang digunakan:
- Derajat 8 – oktik
- Derajat 9 – nonik
- Derajat 10 – dekik
Contoh lain
- Polinomial
3
−
5
x
+
2
x
5
−
7
x
9
{\displaystyle 3-5x+2x^{5}-7x^{9}}
adalah polinomial nonik
- Polinomial
(
y
−
3
)
(
2
y
+
6
)
(
−
4
y
−
21
)
{\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}
polinomial kubik
- Polinomial
(
3
z
8
+
z
5
−
4
z
2
+
6
)
+
(
−
3
z
8
+
8
z
4
+
2
z
3
+
14
z
)
{\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}
Polinomial kuintik (as the z 8 {\displaystyle z^{8}}
are cancelled out)
Perilaku dalam operasi polinomial
Penjumlahan
Jumlah atau selisih dari dua polinomial kurang dari atau sama dengan besar derajatnya.
-
deg
(
P
+
Q
)
≤
max
{
deg
(
P
)
,
deg
(
Q
)
}
{\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}
.
-
deg
(
P
−
Q
)
≤
max
{
deg
(
P
)
,
deg
(
Q
)
}
{\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}
.
- Derajat
(
x
3
+
x
)
+
(
x
2
+
1
)
=
x
3
+
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}
adalah 3. Perhatikan bahwa 3 ≤ maks {3, 2}
- Derajat
(
x
3
+
x
)
−
(
x
3
+
x
2
)
=
−
x
2
+
x
{\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}
adalah 2. Perhatikan bahwa 2 ≤ maks {3, 3}
Perkalian skalar
Derajat perkalian polinomial dengan skalar bukan nol sama dengan derajat polinomialnya
-
deg
(
c
P
)
=
deg
(
P
)
{\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}
.
- Derajat
2
(
x
2
+
3
x
−
2
)
=
2
x
2
+
6
x
−
4
{\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}
adalah 2, seperti derajat x 2 + 3 x − 2 {\displaystyle x^{2}+3x-2}
.
Perkalian
Derajat dari perkalian dua polinomial pada bidang atau domain integral adalah jumlah dari derajatnya:
-
deg
(
P
Q
)
=
deg
(
P
)
+
deg
(
Q
)
{\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}
.
- Derajat
(
x
3
+
x
)
(
x
2
+
1
)
=
x
5
+
2
x
3
+
x
{\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}
adalah 3 + 2 = 5.
Komposisi
Derajat dari komposisi dua polinomial non-konstanta
P
{\displaystyle P}
-
deg
(
P
∘
Q
)
=
deg
(
P
)
deg
(
Q
)
{\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)}
.
- Jika
P
=
(
x
3
+
x
)
{\displaystyle P=(x^{3}+x)}
, Q = ( x 2 + 1 ) {\displaystyle Q=(x^{2}+1)}
, dan P ∘ Q = P ∘ ( x 2 + 1 ) = ( x 2 + 1 ) 3 + ( x 2 + 1 ) = x 6 + 3 x 4 + 4 x 2 + 2 {\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2}
, dimana meiliki derajat 6.
Referensi
- ↑ "Names of Polynomials". November 25, 1997. Diakses tanggal 5 Februari 2012.
{{cite web}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link) - ↑ Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)
- ↑ King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".
- ↑ Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero,
f
(
x
)
=
a
0
{\displaystyle f(x)=a_{0}}
: "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value a 0 {\displaystyle a_{0}}
." (p. 23)
- ↑ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)