Perkalian skalar

Artikel ini bukan mengenai Perkalian titik.

Perkalian skalar ^[1] (bahasa Inggris:scalar multiplication) dalam matematika, adalah salah satu operasi dasar yang mendefinisikan suatu ruang vektor dalam aljabar linear^[2]^[3]^[4] (atau lebih umum, sebuah modul dalam aljabar abstrak^[5]^[6]). Dalam suatu konteks geometri intuitif, perkalian skalar dari suatu vektor real dengan suatu bilangan real positif melipatgandakan besaran vektor itu tanpa mengubah arahnya. Istilah "skalar" sendiri diturunkan dari penggunaan ini: suatu skalar adalah yang membagi suatu vektor dalam skala. Perkalian skalar adalah perkalian suatu vektor dengan suatu skalar (di mana produk atau hasilnya adalah sebuah vektor) dan harus dibedakan dengan "produk skalar" dua vektor (di mana hasilnya adalah suatu skalar).

Definisi

Secara umum, jika K adalah sebuah field dan V adalah sebuah ruang vektor di atas K, maka perkalian skalar adalah suatu fungsi dari K × V ke V. Hasil penerapan fungsi ini ke c dalam K dan v dalam V dilambangkan dengan cv.

Sifat

Perkalian skalar menuruti kaidah-kaidah berikut (vektor ditulis dalam boldface):

Additivity dalam skalar: (c + d)v = cv + dv;
Additivity dalam vektor: c(v + w) = cv + cw;
Kompatibilitas produk skalar-skalar dengan perkalian skalar: (cd)v = c(dv);
Mengalikan dengan 1 tidak mengubah suatu vektor: 1v = v;
Mengalikan dengan 0 menghasilkan vektor nol atau zero vector: 0v = 0;
Mengalikan dengan −1 menghasilkan additive inverse: (−1)v = −v.

Di sini + adalah penjumlahan baik dalam field atau dalam ruang vektor, sebagaimana layaknya; dan 0 adalah identitas penjumlahan dalam keduanya Juxtaposition mengindikasikan baik perkalian skalar atau operasi perkalian dalam field.

Interpretasi

Perkalian skalar dapat dilihat sebagai eksternal operasi biner atau sebagai tindakan dari bidang pada ruang vektor. Interpretasi geometris dari perkalian skalar adalah bahwa perkalian skalar meregang, atau berkontraksi, vektor dengan faktor konstan.

Sebagai kasus khusus, V dapat dianggap sebagai K itu sendiri dan perkalian skalar kemudian dapat dianggap sebagai perkalian di lapangan.

Di mana V is Kⁿ, perkalian skalar sama dengan perkalian setiap komponen dengan skalar, dan dapat didefinisikan seperti itu.

Perkalian skalar matriks

Artikel utama: Matriks (matematika)

Perkalian skalar dari sebuah matriks A dengan skalar λ menghasilkan matriks lain yang berukuran sama A. Maka dilambangkan dengan λA,^[7] terdiri dari entri λA ditentukan oleh

( λ A ) i j = λ ( A ) i j , {\displaystyle (\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,} $(\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,$

secara eksplisit:

λ A = λ ( A 11 A 12 ⋯ A 1 m A 21 A 22 ⋯ A 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A n m ) = ( λ A 11 λ A 12 ⋯ λ A 1 m λ A 21 λ A 22 ⋯ λ A 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ λ A n 1 λ A n 2 ⋯ λ A n m ) . {\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.} $\lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.$

Similarly, the right scalar multiplication of a matrix A with a scalar λ is defined to be

( A λ ) i j = ( A ) i j λ , {\displaystyle (\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,} $(\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,$

secara eksplisit:

A λ = ( A 11 A 12 ⋯ A 1 m A 21 A 22 ⋯ A 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A n m ) λ = ( A 11 λ A 12 λ ⋯ A 1 m λ A 21 λ A 22 λ ⋯ A 2 m λ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 λ A n 2 λ ⋯ A n m λ ) . {\displaystyle \mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.} $\mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.$

Ketika gelanggang yang mendasari adalah komutatif, misalnya, riil atau bilangan kompleks medan, kedua perkalian ini adalah sama, dan disebut perkalian skalar .

Untuk skalar dan matriks riil:

λ = 2 , A = ( a b c d ) {\displaystyle \lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}} $\lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$

2 A = 2 ( a b c d ) = ( 2 ⋅ a 2 ⋅ b 2 ⋅ c 2 ⋅ d ) = ( a ⋅ 2 b ⋅ 2 c ⋅ 2 d ⋅ 2 ) = ( a b c d ) 2 = A 2. {\displaystyle 2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.} $2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.$

Untuk skalar dan matriks quaternion:

λ = i , A = ( i 0 0 j ) {\displaystyle \lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}} $\lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}$

i ( i 0 0 j ) = ( i 2 0 0 i j ) = ( − 1 0 0 k ) ≠ ( − 1 0 0 − k ) = ( i 2 0 0 j i ) = ( i 0 0 j ) i , {\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,} $i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,$