Integral Fresnel

Special function defined by an integralTemplat:SHORTDESC:Special function defined by an integral

Teorema dasar

Definisi
Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total
Konsep
Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor
Kaidah dan identitas
Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno

Integral

Definisi
Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral
Integrasi secara
parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi

Deret

Uji kekonvergenan
geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor
uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel

Vektor

Teorema
Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas
Kedivergenan Gradien Green Stokes

Multivariabel

Formalisme
matriks tensor eksterior geometrik
Definisi
Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse

Khusus

artikel ini perlu dirapikan agar memenuhi standar Wikipedia. Tidak ada alasan pembersihan diberikan. Silakan kembangkan artikel ini semampu Anda. Merapikan artikel dapat dilakukan dengan wikifikasi atau membagi artikel ke paragraf-paragraf. Jika sudah dirapikan, silakan hapus templat ini. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Fresnel integral di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Integral Fresnel pada nilai S(x) dan C(x) adalah dua fungsi transendental yang ditemukan oleh Augustin-Jean Fresnel yang digunakan dalam optik dan terkait erat dengan fungsi kesalahan (erf). Ketika muncul dalam deskripsi fenomena difraksi Fresnel pada medan terdekat dan dapat didefinisikan melalui representasi integral, sebagai berikut:

S(x)=∫0xsin⁡(t2)dt,C(x)=∫0xcos⁡(t2)dt.

Dari rumus di atas plot parametrik simulasi dari nilai S(x) dan nilai C(x) adalah hasil nilai spiral Euler atau juga dikenal sebagai spiral Cornu atau clothoid. Baru-baru ini, mereka telah digunakan dalam desain jalan raya dan proyek teknik lainnya.^[1]

Definisi

Integral Fresnel menerima ekspansi deret pangkat berikut yang menyatu untuk semua yaitu nilai x:

S(x)=∫0xsin⁡(t2)dt=∑n=0∞(−1)nx4n+3(2n+1)!(4n+3).C(x)=∫0xcos⁡(t2)dt=∑n=0∞(−1)nx4n+1(2n)!(4n+1).

Beberapa tabel yang banyak digunakan adalah^[2]^[3] nila πt2/2 saat digantikan oleh nilai t2 untuk argumen integral yang merumuskan nilai S(x) dan C(x). Hal tersebut dapat mengubah limit tak hingga dari nilai (1/2)⋅π/2 untuk nilai 1/2 dan panjang busur yang digunakan untuk putaran spiral pertama (2π) to 2 (at t=2). Fungsi alternatif saat ini biasanya dikenal sebagai Integral Fresnel yang Dinormalisasi.

Spiral Euler

Artikel utama: Spiral Euler

Spiral Euler, atau dikenal juga sebagai Cornu spiral atau clothoid, adalah kurva yang dihasilkan oleh plot parametrik dari S(t) melawan C(t). Spiral Cornu diciptakan oleh Marie Alfred Cornu sebagai nomogram untuk komputasi difraksi dalam sains dan teknik.

Dari definisi integral Fresnel, infinitesimal dx dan dy demikian:

dx=C′(t)dt=cos⁡(t2)dt,dy=S′(t)dt=sin⁡(t2)dt.

Dengan demikian panjang spiral yang diukur dari asal dapat dinyatakan sebagai

L=∫0t0dx2+dy2=∫0t0dt=t0.

Artinya, parameter t adalah panjang kurva yang diukur dari titik asal (0,0), dan spiral Euler memiliki panjang tak terbatas. The vector (cos⁡(t2),sin⁡(t2)) juga mengekspresikan satuan vektor tangen di sepanjang spiral, memberi θ=t2. Karena t adalah panjang kurva, maka kelengkungan tersebut κ dapat dinyatakan sebagai

κ=1R=dθdt=2t.

Dengan demikian laju perubahan kelengkungan terhadap panjang kurva adalah

dκdt=d2θdt2=2.

Spiral Euler memiliki sifat bahwa kelengkungan pada titik mana pun sebanding dengan jarak sepanjang spiral, diukur dari titik awalnya. Properti ini membuatnya berguna sebagai kurva transisi dalam teknik jalan raya dan perkeretaapian: Jika kendaraan mengikuti spiral dengan kecepatan satuan, parameter t di turunan di atas juga mewakili waktu. Akibatnya, kendaraan yang mengikuti spiral dengan kecepatan konstan akan memiliki laju konstan percepatan sudut.

Bagian dari spiral Euler biasanya digabungkan ke dalam bentuk loop roller coaster untuk membuat apa yang dikenal sebagai lingkaran clothoid.

Properti

C(x) dan S(x) adalah fungsi ganjil dari x.
Asimtot integral Fresnel sebagai x→∞ diberikan oleh rumus:

S(x)=π2(sign(x)2−[1+O(x−4)](cos⁡(x2)x2π+sin⁡(x2)x38π)),C(x)=π2(sign(x)2+[1+O(x−4)](sin⁡(x2)x2π−cos⁡(x2)x38π)).

Dengan menggunakan ekspansi deret pangkat di atas, integral Fresnel dapat diperpanjang ke domain bilangan kompleks s, di mana mereka menjadi fungsi analitik dari variabel kompleks.
C(z) dan S(z) adalah seluruh fungsi dari variabel kompleks z.
Integral Fresnel dapat diekspresikan menggunakan fungsi kesalahan sebagai berikut:^[4]

S(z)=π21+i4[erf⁡(1+i2z)−ierf⁡(1−i2z)],C(z)=π21−i4[erf⁡(1+i2z)+ierf⁡(1−i2z)].

atau

C(z)+iS(z)=π21+i2erf⁡(1−i2z),S(z)+iC(z)=π21+i2erf⁡(1+i2z).

Generalisasi

Integral

∫xmexp⁡(ixn)dx=∫∑l=0∞ilxm+nll!dx=∑l=0∞il(m+nl+1)xm+nl+1l!

Integral adalah fungsi hipergeometrik konfluen dan juga fungsi gamma tidak lengkap.^[5]

∫xmexp⁡(ixn)dx=xm+1m+11F1(m+1n1+m+1n∣ixn)=1ni(m+1)/nγ(m+1n,−ixn),

Integral direduksi menjadi integral Fresnel jika bagian nyata atau imajiner diambil:

∫xmsin⁡(xn)dx=xm+n+1m+n+11F2(12+m+12n32+m+12n,32∣−x2n4).

Istilah utama dalam ekspansi asimtotik adalah:

1F1(m+1n1+m+1n∣ixn)∼m+1nΓ(m+1n)eiπ(m+1)/(2n)x−m−1,

Oleh karena itu, dapat diberikan kesimpulan bahwa:

∫0∞xmexp⁡(ixn)dx=1nΓ(m+1n)eiπ(m+1)/(2n).

Untuk m = 0, bagian imajiner dari persamaan ini secara khusus adalah:

∫0∞sin⁡(xa)dx=Γ(1+1a)sin⁡(π2a),

Dengan sisi kiri menyatu untuk a> 1 dan sisi kanan menjadi ekstensi analitiknya ke seluruh bidang kurang di mana letak kutub Γ(a−1).

Transformasi Kummer dari fungsi hipergeometrik konfluen adalah

∫xmexp⁡(ixn)dx=Vn,m(x)eixn,

Dengan

Vn,m:=xm+1m+11F1(11+m+1n∣−ixn).

Penggunaan Integral Fresnel

Penggunaan Integral Fresnel pada awalnya digunakan dalam perhitungan intensitas medan elektromagnetik di lingkungan di mana cahaya membelok di sekitar objek buram.^[6]^[7]

Baru-baru ini, mereka telah menggunakan perhitungan ini sebagai desain jalan raya dan rel kereta api, khususnya zona transisi kelengkungannya, lihat kurva transisi lintasan.^[8] developed a set of efficient approximations based on rational functions that give relative errors down to 2×10⁻¹⁹. atau menghitung transisi pada trek velodrome untuk memungkinkan masuknya cepat ke tikungan dan keluar secara bertahap.^[9] 1,6×10⁻⁹.^[10]

Lihat pula

Referensi

↑ Stewart 2008, hlm. 383 harvnb error: tanpa target: CITEREFStewart2008 (bantuan).
↑
↑ Temme, N. M. (2010), "Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals: Properties", dalam Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
↑ functions.wolfram.com, Fresnel integral S: Representations through equivalent functions and Fresnel integral C: Representations through equivalent functions. Note: Wolfram uses the Abramowitz & Stegun convention, which differs from the one in this article by factors of π/2.
↑ Mathar 2012 harvnb error: tanpa target: CITEREFMathar2012 (bantuan).
↑ Temme, N. M. (2010), "Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals: Asymptotic expansions", dalam Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
↑ Press et al. 2007 harvnb error: tanpa target: CITEREFPressTeukolskyVetterlingFlannery2007 (bantuan).
↑ Cody 1968 harvnb error: tanpa target: CITEREFCody1968 (bantuan).
↑ van Snyder 1993 harvnb error: tanpa target: CITEREFvan_Snyder1993 (bantuan).
↑ Boersma 1960 harvnb error: tanpa target: CITEREFBoersma1960 (bantuan).

l b s Daftar fungsi matematika
Fungsi polinomial	Fungsi konstan (0) Fungsi linear (1) Fungsi kuadrat (2) Fungsi kubik (3) Fungsi kuartik (4) Fungsi kuintik (5)
Fungsi aljabar	Fungsi rasional Fungsi eksponensial Lambert W Superakar Fungsi hiperbolik Fungsi logaritma Berdasarkan basis 2 e 10 teriterasi Superlogaritma
Fungsi dalam teori bilangan	Fungsi Möbius Fungsi partisi Fungsi perhitungan bilangan prima Fungsi phi Euler Fungsi sigma
Fungsi trigonometri	Sinus Kosinus Tangen Sekan Kosekan Kotangen Versinus Koversinus Verkosinus Koverkosinus Ekssekan Ekskosekan Haversinus Hakoversinus Haverkosinus Hakoverkosinus Gudermann sinc
Fungsi berdasarkan huruf Yunani	Fungsi beta Dirichlet taklengkap Fungsi chi Legendre Fungsi delta Fungsi delta Dirac Fungsi delta Kronecker potensial delta Fungsi eta Dirichlet Fungsi gamma Fungsi digamma Barnes Meijer banyak eliptik Hadamard multivariabel p-adik q taklengkap Fungsi poligamma Fungsi trigamma Fungsi lambda Dirchlet modular von Mangoldt Fungsi mu Möbius Fungsi phi Euler Fungsi pi Fungsi sigma Weierstrass Fungsi theta Fungsi zeta Hurwitz Riemann Weierstrass
Fungsi berdasarkan nama matematikawan	Airy Ackermann Bessel Bessel–Clifford Bottcher Chebyshev Clausen Dawson Dirichlet beta eta L lambda Faddeeva Fermi–Dirac lengkap taklengkap Fresnel Fox Gudermann Hermite Fungsi Jacob eliptik Jacobi Kelvin Fungsi Kummer Fungsi Lambert W Lamé Laguerre Legendre chi iring Liouville Mathieu Meijer Mittag-Leffler Painlevé Riemann xi zeta Riesz Scorer Spence von Mangoldt Weierstrass eliptik eta sigma zeta
Fungsi khusus	Fungsi bagian bilangan bulat Fungsi bilangan bulat terbesar Fungsi bilangan bulat terkecil Fungsi gergaji Fungsi indikator Fungsi nilai mutlak Fungsi persegi Fungsi segitiga Fungsi tanda Fungsi tangga Fungsi tangga Heaviside
Fungsi lainnya	Aritmetik-geometrik eliptik Fungsi hiperbolik konfluen K sinkrotron tabung parabolik tanda tanya Minkowski Pentasi Student Tetrasi