Logaritma alami

ln x ≈ log₄ x + log₃₆ x

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.
Cari sumber: "Logaritma alami" – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR

konstanta matematika e
Bagian dari serial artikel mengenai

Sifat
Logaritma alami Fungsi eksponensial
Penerapan
Bunga majemuk Identitas Euler Rumus Euler Waktu paruh pertumbuhan dan peluruhan eksponensial
Pendefinisian e
Bukti bahwa e irasional Representasi dari e Teorema Lindemann–Weierstrass
Tokoh
John Napier Leonhard Euler
Topik terkait
Konjektur Schanuel
l b s

Logaritma alami atau logaritma natural (bahasa Inggris:natural logarithm) adalah suatu logaritma yang berbasis e, di mana

e ≈ 2.718281828459045 … {\displaystyle e\approx 2.718281828459045\dots } $e\approx 2.718281828459045\dots$ .^[1]

Logaritma alami terdefinisikan untuk semua bilangan real (riil) positif x {\displaystyle x} $x$ dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0 {\displaystyle 0} $0$ .^{[butuh rujukan]}

Grafik logaritma alami y = ln ⁡ x {\displaystyle y=\ln x} $y=\ln x$ dengan x > 0 {\displaystyle x>0} $x>0$

Fungsi logaritma alami merupakan invers atau kebalikan dari fungsi eksponensial.

e ln ⁡ ( x ) = x {\displaystyle \ e^{\ln(x)}=x\,\!} $\ e^{\ln(x)}=x\,\!$ untuk semua x {\displaystyle x} $x$ yang positif dan

ln ⁡ ( e x ) = x {\displaystyle \ln(e^{x})=x\,\!} $\ln(e^{x})=x\,\!$ untuk semua x {\displaystyle x} $x$ yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

Sejarah

Artikel utama: Sejarah logaritma

Notasi logaritma alami

Dalam matematika, para matematikawan biasanya menggunakan ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} $\ln(x)$ atau log ⁡ ( x ) {\displaystyle \log(x)} $\log(x)$ untuk menotasikan log e ⁡ ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)} $\log _{e}(x)$ . Begitu juga dengan para insinyur, ahli biologi dan bidang-bidang yang lain. Dalam alat hitung, yakni kalkulator, tombol ln diartikan sebagai logaritma alami.^{[butuh rujukan]}

Definisi

Secara formal, ln(a) dapat didefinisikan sebagai luas di bawah grafik (integral) dari 1/x dihitung dari 1 ke a, atau,

ln ⁡ ( a ) = ∫ 1 a 1 x d x . {\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.} $\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental dari logaritma, yaitu:

ln ⁡ ( a b ) = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) {\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!} $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!$

Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan ϕ ( t ) = a t {\displaystyle \phi (t)=at} $\phi (t)=at$ dan dengan menggunakan rumus substitusi:

ln ⁡ ( a b ) = ∫ 1 a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ a a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ 1 b 1 t d t = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(ab)&=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\\&=\ln(a)+\ln(b)\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\ln(ab)&=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\\&=\ln(a)+\ln(b)\end{aligned}}$

Bilangan e, selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real (riil) yang unik yaitu a di mana ln ⁡ ( a ) = 1 {\displaystyle \ln(a)=1} $\ln(a)=1$ .

Sifat

Beberapa sifat logaritma alami berkaitan dengan logaritma biasa (lihat Sifat Logaritma), di antaranya.

ln ⁡ 1 = 0 {\displaystyle \ln 1=0} $\ln 1=0$
ln ⁡ e = 1 {\displaystyle \ln e=1} $\ln e=1$
ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b {\displaystyle \ln ab=\ln a+\ln b} $\ln ab=\ln a+\ln b$
ln ⁡ a b = ln ⁡ a − ln ⁡ b {\displaystyle \ln {\frac {a}{b}}=\ln a-\ln b} $\ln {\frac {a}{b}}=\ln a-\ln b$

Lihat pula

Logaritma natural dari 2

Referensi

↑ "What is a Logarithm?". www.mclph.umn.edu. Diakses tanggal 2020-08-21.

l b s Daftar fungsi matematika
Fungsi polinomial	Fungsi konstan (0) Fungsi linear (1) Fungsi kuadrat (2) Fungsi kubik (3) Fungsi kuartik (4) Fungsi kuintik (5)
Fungsi aljabar	Fungsi rasional Fungsi eksponensial Lambert W Superakar Fungsi hiperbolik Fungsi logaritma Berdasarkan basis 2 e 10 teriterasi Superlogaritma
Fungsi dalam teori bilangan	Fungsi Möbius Fungsi partisi Fungsi perhitungan bilangan prima Fungsi phi Euler Fungsi sigma
Fungsi trigonometri	Sinus Kosinus Tangen Sekan Kosekan Kotangen Versinus Koversinus Verkosinus Koverkosinus Ekssekan Ekskosekan Haversinus Hakoversinus Haverkosinus Hakoverkosinus Gudermann sinc
Fungsi berdasarkan huruf Yunani	Fungsi beta Dirichlet taklengkap Fungsi chi Legendre Fungsi delta Fungsi delta Dirac Fungsi delta Kronecker potensial delta Fungsi eta Dirichlet Fungsi gamma Fungsi digamma Barnes Meijer banyak eliptik Hadamard multivariabel p-adik q taklengkap Fungsi poligamma Fungsi trigamma Fungsi lambda Dirchlet modular von Mangoldt Fungsi mu Möbius Fungsi phi Euler Fungsi pi Fungsi sigma Weierstrass Fungsi theta Fungsi zeta Hurwitz Riemann Weierstrass
Fungsi berdasarkan nama matematikawan	Airy Ackermann Bessel Bessel–Clifford Bottcher Chebyshev Clausen Dawson Dirichlet beta eta L lambda Faddeeva Fermi–Dirac lengkap taklengkap Fresnel Fox Gudermann Hermite Fungsi Jacob eliptik Jacobi Kelvin Fungsi Kummer Fungsi Lambert W Lamé Laguerre Legendre chi iring Liouville Mathieu Meijer Mittag-Leffler Painlevé Riemann xi zeta Riesz Scorer Spence von Mangoldt Weierstrass eliptik eta sigma zeta
Fungsi khusus	Fungsi bagian bilangan bulat Fungsi bilangan bulat terbesar Fungsi bilangan bulat terkecil Fungsi gergaji Fungsi indikator Fungsi nilai mutlak Fungsi persegi Fungsi segitiga Fungsi tanda Fungsi tangga Fungsi tangga Heaviside
Fungsi lainnya	Aritmetik-geometrik eliptik Fungsi hiperbolik konfluen K sinkrotron tabung parabolik tanda tanya Minkowski Pentasi Student Tetrasi