Logaritma umum

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.
Cari sumber: "Logaritma umum" – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR

Logaritma umum

Domain dan Citra
Domain dari fungsi	( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} $(0,\infty )$
Daerah hasil fungsi	( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} $(-\infty ,\infty )$
Nilai-nilai spesifik
Nilai maksimum	Tidak ada
Nilai minimum	Tidak ada
Sifat khusus
Akar	1 {\displaystyle 1} $1$
Invers	x = 10 y {\displaystyle x=10^{y}} $x=10^{y}$
Turunan	1 x ln ⁡ 10 {\displaystyle {\frac {1}{x\ln 10}}} ${\frac {1}{x\ln 10}}$

Logaritma umum atau logaritma biasa adalah logaritma dengan basis 10. Logaritma umum dinotasikan sebagai log₁₀(x), atau kadang Log(x) dengan huruf L kapital (namun notasi ini ambigu, karna dapat berarti juga logaritma natural komplek. Di kalkulator biasanya digunakan "log", tetapi matematikawan menggunakan "log" sebagai notasi logaritma natural bukan logaritma umum. Untuk mengatasi ambiguitas ini, spesifikasi ISO menyebutkan bahwa log₁₀(x) harus ditulis sebagai lg (x) dan log_e(x) ditulis ln (x).

Mantis dan karakteristik

Sifat penting dari logaritma basis 10, yang membuatnya sangat berguna dalam perhitungan, adalah bahwa logaritma bilangan yang lebih besar dari 1 yang berbeda dengan faktor pangkat 10 semuanya memiliki pecahan yang sama. Bagian pecahan ini dikenal sebagai mantis.^[1]^{[note 1]} Dengan demikian, tabel log hanya perlu menampilkan bagian pecahan. Tabel logaritma umum biasanya mencantumkan mantis, hingga empat atau lima tempat desimal atau lebih, dari setiap angka dalam suatu rentang, misalnya 1000 hingga 9999.

Bagian bilangan bulat, disebut karakteristik, dapat dihitung hanya dengan menghitung berapa banyak tempat koma desimal harus dipindahkan, sehingga tepat di sebelah kanan digit signifikan pertama. Misalnya, logaritma 120 diberikan dengan perhitungan berikut:

log 10 ⁡ ( 120 ) = log 10 ⁡ ( 10 2 × 1.2 ) = 2 + log 10 ⁡ ( 1.2 ) ≈ 2 + 0.07918. {\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.} $\log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.$

Angka terakhir (0,07918) bagian pecahan atau mantra dari logaritma persekutuan 120 dapat ditemukan pada tabel yang ditampilkan. Lokasi titik desimal di 120 memberi tahu kita bahwa bagian bilangan bulat dari logaritma persekutuan 120, karakteristiknya, adalah 2.

Logaritma negatif

Bilangan positif kurang dari 1 memiliki logaritma negatif. Sebagai contoh,

log 10 ⁡ ( 0.012 ) = log 10 ⁡ ( 10 − 2 × 1.2 ) = − 2 + log 10 ⁡ ( 1.2 ) ≈ − 2 + 0.07918 = − 1.92082. {\displaystyle \log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.} $\log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.$

Untuk menghindari kebutuhan akan tabel terpisah untuk mengubah logaritma positif dan negatif kembali ke bilangan aslinya, logaritma negatif dapat diekspresikan sebagai karakteristik bilangan bulat negatif ditambah positif. Untuk memfasilitasi ini, notasi khusus, yang disebut notasi batang, digunakan:

log 10 ⁡ ( 0.012 ) ≈ − 2 + 0.07918 = 2 ¯ .07918 . {\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918.} $\log _{10}(0.012)\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918.$

Bilah di atas karakteristik menunjukkan bahwa itu negatif, sedangkan mantissa tetap positif. Saat membaca angka dalam notasi bar dengan lantang, simbol n ¯ {\displaystyle {\bar {n}}} ${\bar {n}}$ dibaca sebagai "bar n", sehingga 2 ¯ .07918 {\displaystyle {\bar {2}}.07918} ${\bar {2}}.07918$ dibaca sebagai "bar 2 point 07918…".

Contoh berikut menggunakan notasi batang untuk menghitung 0,012 × 0.85 = 0.0102:

Seperti yang ditemukan di atas, log 10 ⁡ ( 0.012 ) ≈ 2 ¯ .07918 karena log 10 ⁡ ( 0.85 ) = log 10 ⁡ ( 10 − 1 × 8.5 ) = − 1 + log 10 ⁡ ( 8.5 ) ≈ − 1 + 0.92942 = 1 ¯ .92942 log 10 ⁡ ( 0.012 × 0.85 ) = log 10 ⁡ ( 0.012 ) + log 10 ⁡ ( 0.85 ) ≈ 2 ¯ .07918 + 1 ¯ .92942 = ( − 2 + 0.07918 ) + ( − 1 + 0.92942 ) = − ( 2 + 1 ) + ( 0.07918 + 0.92942 ) = − 3 + 1.00860 = − 2 + 0.00860 ∗ ≈ log 10 ⁡ ( 10 − 2 ) + log 10 ⁡ ( 1.02 ) = log 10 ⁡ ( 0.01 × 1.02 ) = log 10 ⁡ ( 0.0102 ) . {\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{Seperti yang ditemukan di atas,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{karena}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}} ${\begin{array}{rll}{\text{Seperti yang ditemukan di atas,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{karena}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}$

Langkah ini membuat mantissa antara 0 dan 1, sehingga antilog(10 ^mantis) nya dapat dicari.

Tabel berikut menunjukkan bagaimana mantis yang sama dapat digunakan untuk rentang angka yang berbeda pangkat sepuluh:

Logaritma, karakteristik, dan mantis umum dari pangkat 10 dikali sebuah bilangan
Jumlah	Logaritma	Ciri	Mantis	Bentuk gabungan
n = 5 × 10ⁱ	log₁₀(n)	i = floor(log₁₀(n))	log₁₀(n) − i
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698 970...

Perhatikan bahwa mantis umum untuk semua 5×10ⁱ. Ini berlaku untuk setiap bilangan riil x {\displaystyle x} $x$ positif karena

log 10 ⁡ ( x × 10 i ) = log 10 ⁡ ( x ) + log 10 ⁡ ( 10 i ) = log 10 ⁡ ( x ) + i . {\displaystyle \log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.} $\log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.$

Karena i {\displaystyle i} $i$ adalah sebuah tetapan, mantisnya berasal dari log 10 ⁡ ( x ) {\displaystyle \log _{10}(x)} $\log _{10}(x)$ , yang tetapannya untuk x {\displaystyle x} $x$ yang diberikan. Ini memungkinka sebuah tabel logaritma hinggan mencakupi hanyu satu entri untuk setiap mantis. Di contohnya dari 5 × 10ⁱ, 0.698 970 (004 336 018 ...) akan didaftarkan berindeks sekali oleh 5 (or 0.5, or 500, dst..).

Angka ditempatkan pada skala mistar hitung pada jarak yang sebanding dengan perbedaan antara logaritmanya. Dengan menambahkan jarak secara mekanis dari 1 ke 2 pada skala yang lebih rendah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala atas, seseorang dapat dengan cepat menentukan bahwa 2 × 3 = 6.

Referensi

Michael Möser: Engineering Acoustics: An Introduction to Noise Control. Springer 2009, ISBN 978-3-540-92722-8, p. 448 (restricted online copy, hlm. 448, pada Google Books)
A. D. Poliyanin, A. V. Manzhirov: Handbook of mathematics for engineers and scientists. CRC Press 2007, ISBN 978-1-58488-502-3, p. 9 (restricted online copy, hlm. 9, pada Google Books)

↑ "Logarithm: The Complete Guide (Theory & Applications)—Common Logarithm (Base 10)". Math Vault (dalam bahasa American English). 2016-05-08. Diakses tanggal 2020-08-29.{{cite web}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)

l b s Daftar fungsi matematika
Fungsi polinomial	Fungsi konstan (0) Fungsi linear (1) Fungsi kuadrat (2) Fungsi kubik (3) Fungsi kuartik (4) Fungsi kuintik (5)
Fungsi aljabar	Fungsi rasional Fungsi eksponensial Lambert W Superakar Fungsi hiperbolik Fungsi logaritma Berdasarkan basis 2 e 10 teriterasi Superlogaritma
Fungsi dalam teori bilangan	Fungsi Möbius Fungsi partisi Fungsi perhitungan bilangan prima Fungsi phi Euler Fungsi sigma
Fungsi trigonometri	Sinus Kosinus Tangen Sekan Kosekan Kotangen Versinus Koversinus Verkosinus Koverkosinus Ekssekan Ekskosekan Haversinus Hakoversinus Haverkosinus Hakoverkosinus Gudermann sinc
Fungsi berdasarkan huruf Yunani	Fungsi beta Dirichlet taklengkap Fungsi chi Legendre Fungsi delta Fungsi delta Dirac Fungsi delta Kronecker potensial delta Fungsi eta Dirichlet Fungsi gamma Fungsi digamma Barnes Meijer banyak eliptik Hadamard multivariabel p-adik q taklengkap Fungsi poligamma Fungsi trigamma Fungsi lambda Dirchlet modular von Mangoldt Fungsi mu Möbius Fungsi phi Euler Fungsi pi Fungsi sigma Weierstrass Fungsi theta Fungsi zeta Hurwitz Riemann Weierstrass
Fungsi berdasarkan nama matematikawan	Airy Ackermann Bessel Bessel–Clifford Bottcher Chebyshev Clausen Dawson Dirichlet beta eta L lambda Faddeeva Fermi–Dirac lengkap taklengkap Fresnel Fox Gudermann Hermite Fungsi Jacob eliptik Jacobi Kelvin Fungsi Kummer Fungsi Lambert W Lamé Laguerre Legendre chi iring Liouville Mathieu Meijer Mittag-Leffler Painlevé Riemann xi zeta Riesz Scorer Spence von Mangoldt Weierstrass eliptik eta sigma zeta
Fungsi khusus	Fungsi bagian bilangan bulat Fungsi bilangan bulat terbesar Fungsi bilangan bulat terkecil Fungsi gergaji Fungsi indikator Fungsi nilai mutlak Fungsi persegi Fungsi segitiga Fungsi tanda Fungsi tangga Fungsi tangga Heaviside
Fungsi lainnya	Aritmetik-geometrik eliptik Fungsi hiperbolik konfluen K sinkrotron tabung parabolik tanda tanya Minkowski Pentasi Student Tetrasi

Basis data pengawasan otoritas	GND

↑ Penggunaan kata mantissa ini berasal dari yang lebih tua, non-numerik, artinya: tambahan atau pelengkap kecil, misalnya, ke teks. Saat ini, kata mantissa umumnya digunakan untuk menggambarkan bagian pecahan dari sebuah bilangan floating-point pada komputer, meskipun istilah yang disarankan adalah signifikan.