 | Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu. Cari sumber: "Fungsi" matematika – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR |
 |
| Artikel ini adalah bagian dari seri: |
| Matematika |
|---|
|
|
Konsep matematika
|
|
Alat matematika |
f ( x ) = ( 4 x 3 − 6 x 2 + 1 ) x + 1 3 − x {\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle \\&\textstyle f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}}
Baik domain maupun daerah nilai (range) dalam gambar adalah himpunan bilangan real di antara -1 dan 1,5
Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain atau variabel bebas) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain atau variabel terikat) yang dapat dinyatakan dengan lambang
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil.[4] Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah
y
=
f
(
2
x
)
{\displaystyle y=f(2x)}
Notasi
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.
-
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\rightarrow B}
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Namun, bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.
-
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
-
f
:
x
→
x
2
{\displaystyle f:x\rightarrow x^{2}}
atau
-
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=\,x^{2}}
[5]
Fungsi sebagai relasi
Sebuah fungsi f dapat didefinisikan sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.
Himpunan masukan, ranah, bayangan, kodomain
Misal diketahui fungsi f : A → B
Himpuan A disebut domain (daerah asal), himpunan B adalah kodomain (daerah kawan), dan anggota himpunan B yang memiliki pasangan di A disebut baynagan (daerah hasil).
Sifat-sifat fungsi
Fungsi injektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2
∈
A
{\displaystyle \in A}
Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}
Fungsi surjektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada, fungsi onto atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).
Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}
Fungsi bijektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi korespondensi satu-satu, fungsi into, fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.[4]
Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,b), (3,c)}
Fungsi ganjil dan genap
Rumus fungsi ganjil dan genap yaitu
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
Fungsi eksplisit dan implisit
- Fungsi eksplisit
Contoh: y = 2 x + 3 {\displaystyle y=2x+3}, y = 4 x 2 + 5 {\displaystyle y={\sqrt {4x^{2}+5}}}
, y = − 2 x + 2 {\displaystyle y=-2x+{\sqrt {2}}}
- Fungsi implisit
Ada dua jenis yaitu:- implisit eksplisit
adalah fungsi yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit.
Contoh: 5 x + 7 y = 8 {\displaystyle 5x+7y=8}, 3 x 2 + 2 y 2 = 7 {\displaystyle 3x^{2}+2y^{2}=7}
, x 2 + 4 x y + 4 y 2 = 5 {\displaystyle x^{2}+4xy+4y^{2}=5}
- implisit noneksplisit
adalah fungsi yang dapat tidak diubah menjadi fungsi eksplisit.
Contoh: 2 x 2 + x y + 3 y 2 = 8 {\displaystyle 2x^{2}+xy+3y^{2}=8}
- implisit eksplisit
Gambar fungsi pecahan
Fungsi pecahan terdiri dari
-
y
=
a
x
+
b
p
x
+
q
{\displaystyle y={\frac {ax+b}{px+q}}}
dengan p ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
- Titik sumbu x (y = 0)
- Titik sumbu y (x = 0)
- Asimtot datar
y
=
a
p
{\displaystyle y={\frac {a}{p}}}
- Asimtot tegak
x
=
−
q
p
{\displaystyle x={\frac {-q}{p}}}
- Titik-titik lain
-
y
=
a
x
+
b
p
x
2
+
q
x
+
r
{\displaystyle y={\frac {ax+b}{px^{2}+qx+r}}}
dengan {p, q} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
- Titik sumbu x (y = 0)
- Titik sumbu y (x = 0)
- Asimtot datar y = 0
- Asimtot tegak penyebut = 0 dengan cari x
- Harga Ekstrem/Titik balik
y
=
a
x
+
b
p
x
2
+
q
x
+
r
{\displaystyle y={\frac {ax+b}{px^{2}+qx+r}}}
- Titik-titik lain
-
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
p
x
+
q
{\displaystyle y={\frac {ax^{2}+bx+c}{px+q}}}
dengan {a, p} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
- Titik sumbu x (y = 0)
- Titik sumbu y (x = 0)
- Asimtot tegak
x
=
−
q
p
{\displaystyle x={\frac {-q}{p}}}
- Asimtot miring di mana pembilang dibagi penyebut yaitu
y
=
m
x
+
n
+
l
p
x
+
q
{\displaystyle y=mx+n+{\frac {l}{px+q}}}
jadi ambil y = mx + n saja
- Harga Ekstrem/Titik balik
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
p
x
+
q
{\displaystyle y={\frac {ax^{2}+bx+c}{px+q}}}
- Titik-titik lain
-
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
p
x
2
+
q
x
+
r
{\displaystyle y={\frac {ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}}}
dengan {a, p, q} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
- Titik sumbu x (y = 0)
- Titik sumbu y (x = 0)
- Asimtot datar
y
=
a
p
{\displaystyle y={\frac {a}{p}}}
- Asimtot tegak penyebut = 0 dengan cari x
- Harga Ekstrem/Titik balik
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
p
x
2
+
q
x
+
r
{\displaystyle y={\frac {ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}}}
- Titik potong dengan asimtot datar untuk mencari x di mana y adalah asimtot datar
- Titik-titik lain
Komposisi fungsi
Contoh
- Tentukan
f
(
x
)
∘
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)\circ g(x)}
dan g ( x ) ∘ f ( x ) {\displaystyle g(x)\circ f(x)}
dari f ( x ) = 2 x + 3 {\displaystyle f(x)=2x+3}
dan g ( x ) = 4 x + 7 {\displaystyle g(x)=4x+7}
!
-
f
(
x
)
∘
g
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)\circ g(x)=f(g(x))}
-
f
(
g
(
x
)
)
=
f
(
4
x
+
7
)
{\displaystyle f(g(x))=f(4x+7)}
-
f
(
g
(
x
)
)
=
2
(
4
x
+
7
)
+
3
{\displaystyle f(g(x))=2(4x+7)+3}
-
f
(
g
(
x
)
)
=
8
x
+
17
{\displaystyle f(g(x))=8x+17}
-
g
(
x
)
∘
f
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle g(x)\circ f(x)=g(f(x))}
-
g
(
f
(
x
)
)
=
g
(
2
x
+
3
)
{\displaystyle g(f(x))=g(2x+3)}
-
g
(
f
(
x
)
)
=
4
(
2
x
+
3
)
+
7
{\displaystyle g(f(x))=4(2x+3)+7}
-
g
(
f
(
x
)
)
=
8
x
+
19
{\displaystyle g(f(x))=8x+19}
- Tentukan
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
dari g ( x ) = 4 x + 7 {\displaystyle g(x)=4x+7}
- a
f
(
g
(
x
)
)
=
8
x
+
17
{\displaystyle f(g(x))=8x+17}
!
- b
g
(
f
(
x
)
)
=
8
x
+
19
{\displaystyle g(f(x))=8x+19}
!
a
-
f
(
g
(
x
)
)
=
8
x
+
17
{\displaystyle f(g(x))=8x+17}
-
f
(
4
x
+
7
)
=
8
x
+
17
{\displaystyle f(4x+7)=8x+17}
-
f
(
4
x
+
7
−
7
4
)
=
8
(
x
−
7
4
)
+
17
{\displaystyle f({\frac {4x+7-7}{4}})=8({\frac {x-7}{4}})+17}
-
f
(
x
)
=
2
x
−
14
+
17
{\displaystyle f(x)=2x-14+17}
-
f
(
x
)
=
2
x
+
3
{\displaystyle f(x)=2x+3}
b
-
g
(
f
(
x
)
)
=
8
x
+
19
{\displaystyle g(f(x))=8x+19}
-
4
f
(
x
)
+
7
=
8
x
+
19
{\displaystyle 4f(x)+7=8x+19}
-
4
f
(
x
)
+
7
−
7
4
=
8
x
+
19
−
7
4
{\displaystyle {\frac {4f(x)+7-7}{4}}={\frac {8x+19-7}{4}}}
-
f
(
x
)
=
2
x
+
3
{\displaystyle f(x)=2x+3}
- Tentukan
f
(
x
)
∘
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)\circ g(x)}
dan g ( x ) = x 2 + 4 x + 7 {\displaystyle g(x)=x^{2}+4x+7}
!
-
f
(
x
)
∘
g
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)\circ g(x)=f(g(x))}
-
f
(
g
(
x
)
)
=
f
(
x
2
+
4
x
+
7
)
{\displaystyle f(g(x))=f(x^{2}+4x+7)}
-
f
(
g
(
x
)
)
=
5
(
x
2
+
4
x
+
7
)
+
3
{\displaystyle f(g(x))=5(x^{2}+4x+7)+3}
-
f
(
g
(
x
)
)
=
5
x
2
+
20
x
+
38
{\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}
-
g
(
x
)
∘
f
(
x
)
=
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle g(x)\circ f(x)=(f(x))}
-
g
(
f
(
x
)
)
=
g
(
5
x
+
3
)
{\displaystyle g(f(x))=g(5x+3)}
-
g
(
f
(
x
)
)
=
(
5
x
+
3
)
2
+
4
(
5
x
+
3
)
+
7
{\displaystyle g(f(x))=(5x+3)^{2}+4(5x+3)+7}
-
g
(
f
(
x
)
)
=
25
x
2
+
30
x
+
9
+
20
x
+
12
+
7
{\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+30x+9+20x+12+7}
-
g
(
f
(
x
)
)
=
25
x
2
+
50
x
+
28
{\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}
- Tentukan
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
- a
f
(
g
(
x
)
)
=
5
x
2
+
20
x
+
38
{\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}
!
- b
g
(
f
(
x
)
)
=
25
x
2
+
50
x
+
28
{\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}
!
a
-
f
(
g
(
x
)
)
=
5
x
2
+
20
x
+
38
{\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}
-
5
g
(
x
)
+
3
=
5
x
2
+
20
x
+
38
{\displaystyle 5g(x)+3=5x^{2}+20x+38}
-
5
g
(
x
)
+
3
−
3
5
=
5
x
2
+
20
x
+
38
−
3
5
{\displaystyle {\frac {5g(x)+3-3}{5}}={\frac {5x^{2}+20x+38-3}{5}}}
-
g
(
x
)
=
x
2
+
4
x
+
7
{\displaystyle g(x)=x^{2}+4x+7}
b
-
g
(
f
(
x
)
)
=
25
x
2
+
50
x
+
28
{\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}
-
g
(
5
x
+
3
)
=
25
x
2
+
50
x
+
28
{\displaystyle g(5x+3)=25x^{2}+50x+28}
-
g
(
5
x
+
3
−
3
5
)
=
25
(
x
−
3
5
)
2
+
50
(
x
−
3
5
)
+
28
{\displaystyle g({\frac {5x+3-3}{5}})=25({\frac {x-3}{5}})^{2}+50({\frac {x-3}{5}})+28}
-
g
(
x
)
=
25
(
x
2
−
6
x
+
9
25
)
+
10
x
−
30
+
28
{\displaystyle g(x)=25({\frac {x^{2}-6x+9}{25}})+10x-30+28}
-
g
(
x
)
=
x
2
+
4
x
+
7
{\displaystyle g(x)=x^{2}+4x+7}
- Tentukan
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
- a
f
(
g
(
x
)
)
=
5
x
2
+
20
x
+
38
{\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}
- b
g
(
f
(
x
)
)
=
25
x
2
+
50
x
+
28
{\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}
a
-
f
(
g
(
x
)
)
=
5
x
2
+
20
x
+
38
{\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}
-
f
(
x
2
+
4
x
+
7
)
=
5
x
2
+
20
x
+
38
{\displaystyle f(x^{2}+4x+7)=5x^{2}+20x+38}
-
f
(
x
2
+
4
x
+
7
)
=
5
x
2
+
20
x
+
35
−
35
+
38
{\displaystyle f(x^{2}+4x+7)=5x^{2}+20x+35-35+38}
-
f
(
x
2
+
4
x
+
7
)
=
5
(
x
2
+
4
x
+
7
)
+
3
{\displaystyle f(x^{2}+4x+7)=5(x^{2}+4x+7)+3}
-
f
(
x
)
=
5
x
+
3
{\displaystyle f(x)=5x+3}
b
-
g
(
f
(
x
)
)
=
25
x
2
+
50
x
+
28
{\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}
-
(
f
(
x
)
)
2
+
4
f
(
x
)
+
7
=
25
x
2
+
50
x
+
28
{\displaystyle (f(x))^{2}+4f(x)+7=25x^{2}+50x+28}
-
(
f
(
x
)
)
2
+
4
f
(
x
)
+
4
−
4
+
7
=
25
x
2
+
50
x
+
25
−
25
+
28
{\displaystyle (f(x))^{2}+4f(x)+4-4+7=25x^{2}+50x+25-25+28}
-
(
f
(
x
)
+
2
)
2
+
3
=
(
5
x
+
5
)
2
+
3
{\displaystyle (f(x)+2)^{2}+3=(5x+5)^{2}+3}
-
f
(
x
)
+
2
=
5
x
+
5
{\displaystyle f(x)+2=5x+5}
-
f
(
x
)
=
5
x
+
3
{\displaystyle f(x)=5x+3}
Referensi
- ↑ "function | Definition, Types, Examples, & Facts". Encyclopedia Britannica (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2023-05-13. Diakses tanggal 2020-08-20.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Function". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2023-07-13. Diakses tanggal 2020-08-20.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Map". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2023-06-04. Diakses tanggal 2020-08-20.
- 1 2 "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon". Math Vault (dalam bahasa American English). 2019-08-01. Diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2020-02-28. Diakses tanggal 2020-08-20.
- ↑ "What is a Function". www.mathsisfun.com. Diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2023-06-09. Diakses tanggal 2020-08-20.
Lihat pula
| Internasional | |
|---|---|
| Nasional | |
| Lain-lain | |
