Segi enam

Bangun dengan enam sisiTemplat:SHORTDESC:Bangun dengan enam sisi

Matematika
$120px-Math.svg.png?utm_source=id.wikipedia.org&utm_campaign=parser&utm_content=thumbnail$
Artikel ini adalah bagian dari seri:
Ragam Garis besar matematika Aritmetika Bahasa pemrograman Filsafat matematika Matematika diskrit Matematika Islam Matematika keuangan Matematika murni Matematika terapan Matematika Yunani Pendidikan matematika
Aritmetika dasar Digit Penambahan (+) Pengurangan (-) Perkalian (×) Pembagian (÷)
Konsep matematika Faktorisasi dan Faktorisasi prima Bilangan prima dan Faktor persekutuan terbesar Garis bilangan Kelipatan dan Kelipatan persekutuan terkecil Pecahan Perpangkatan Akar bilangan dan Akar kuadrat Logaritma Himpunan Fungsi Peluang Rasio Dimensi Persamaan Sistem koordinat Statistika Teorema dasar kalkulus Teorema nilai antara Teorema nilai purata Teorema pythagoras Hipotenusa
Bangun datar dan ruang Persegi Persegi panjang Segitiga Segi lima Segi enam Segi delapan Tetrahedron Kubus Oktahedron Dodekahedron Ikosahedron
Alat matematika Swipoa Kalkulator Penggaris Jangka Jangka sorong Busur derajat
l b s

Hekdagon beraturan
Sebuah heksagon biasa
Sisi dan titik pojok	{{{p6-sisi}}}
Simbol Schläfli	{6}, t{3}
Diagram Coxeter–Dynkin
Grup simetri	Dihedral (D₆), order 2×{{{p6-sisi}}}
Sudut dalam (derajat)	{{{p6-sudut}}}°
Sifat	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

Dalam geometri, segi enam adalah adalah poligon dengan enam sisi.^[1] Istilah lain dari bangun ini adalah heksagon (dari kata Yunani ἕξ, hex, berarti "enam", dan γωνία, gonía, berarti "sudut") Jumlah sudut dalam dari segi enam sederhana (tidak ada sisi yang berpotongan) adalah 720°.

Segi enam beraturan

Segi enam beraturan (segi enam beraturan) didefinisikan sebagai segi enam dengan semua sisinya memiliki panjang yang sama dan semua sudutnya memiliki besar yang sama. segi enam jenis ini bersifat bisentrik, mengartikan bangun tersebut memiki lingkaran dalam dan lingkaran luar. segi enam beraturan memiliki simbol Schläfli {6}.^[2]

Panjang sisi dari segi enam regular sama dengan panjang jari-jari lingkaran luar, yang selanjutnya sama dengan 2 3 {\textstyle {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}} ${\textstyle {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}}$ panjang apotema-nya. Semua sudut dalam memiliki besar 120 derajat. Segi enam beraturan memiliki enam simetri putar (simetri rotasi tingkat enam) dan enam simetri cermin (enam garis simetri refleksi); menghasilkan grup dihedral D₆. Diagonal terpanjang dari segi enam beraturan, yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan, memiliki panjang dua kali lipat panjang sisi segi enam tersebut (sifat ini dapat terlihat dengan membagi segi enam menjadi enam segitiga sama sisi).

Sama seperti persegi dan segitiga sama sisi, segi enam beraturan dapat ditempelkan satu sama lain tanpa menghasilkan celah. Hal ini membuat segi enam beraturan bermanfaat dalam membuat pengubinan. Sel-sel dari sarang lebah memiliki bentuk segi enamal karena alasan ini, dan karena bentuk demikian menggunakan ruang dan bahan kontruksi dengan efisien.

Animasi tahap-demi-tahap cara membuat segi enam beraturan menggunakan jangka dan mistar, berdasarkan "Elemen" Euklides, Buku IV, Proposisi 15.

Jika panjang sisi AB diberikan, menggambar busur dari titik A dan titik B menghasilkan perpotongan M, yang menjadi pusat dari lingkaran dalam. Segi enam dapat dibentuk dengan menggambar segmen garis AB sebanyak lima kali mengelilingi lingkaran dalam.

Parameter

Panjang diameter mayor dari segi enam beraturan (yang sama dengan diagonal terpanjang segi enam tersebut), D , {\displaystyle D,} $D,$ adalah dua kali lipat panjang jari-jari lingkaran luar, R , {\displaystyle R,} $R,$ yang panjangnya sama dengan panjang sisi dari segi enam, t . {\displaystyle t.} $t.$ Panjang diameter minor (diameter lingkaran dalam dari segi enam), d , {\displaystyle d,} $d,$ adalah dua kali lipat panjang jari-jari lingkaran dalam, r . {\displaystyle r.} $r.$ Hubungan antar panjang-panjang tersebut adalah: r = cos ⁡ ( 30 ∘ ) R = 3 2 R = 3 2 t {\displaystyle r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t} $r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t$ dan serupa dengan itu, d = 3 2 D . {\textstyle d={\frac {\sqrt {3}}{2}}D.} ${\textstyle d={\frac {\sqrt {3}}{2}}D.}$

Luas dari segi enam beraturan adalah

L = 3 3 2 R 2 = 3 R r = 2 3 r 2 = 3 3 8 D 2 = 3 4 D d = 3 2 d 2 ≈ 2.598 R 2 ≈ 3.464 r 2 ≈ 0.6495 D 2 ≈ 0.866 d 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}L&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\[3pt]&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\[3pt]&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}L&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\[3pt]&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\[3pt]&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}.\end{aligned}}$

Dari hubungan luas tersebut, dapat ditunjukkan bahwa segi enam mengisi 3 3 2 π ≈ 0.8270 {\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270} ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270$ bagian dari lingkaran luarnya.

Untuk sebarang poligon beraturan, luas daerahnya juga dapat dinyatakan menggunakan apotema (jarak dari titik pusat ke titik tengah dari sisi poligon tersebut) a , {\displaystyle a,} $a,$ dan keliling k . {\displaystyle k.} $k.$ Dalam kasus segi enam beraturan, a = r {\displaystyle a=r} $a=r$ dan k = 6 R = 4 r 3 , {\displaystyle k=6R=4r{\sqrt {3}},} $k=6R=4r{\sqrt {3}},$ sehingga

L = a k 2 = r ⋅ 4 r 3 2 = 2 r 2 3 ≈ 3.464 r 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}L&={\frac {ak}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}L&={\frac {ak}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}$

Sifat

Jika segi enam beraturan secara berurutan memiliki sudut A , B , C , D , E , F {\displaystyle A,B,C,D,E,F} $A,B,C,D,E,F$ dan jika P {\displaystyle P} $P$ adalah sebarang titik pada (busur) lingkaran luar di antara B {\displaystyle B} $B$ dan C {\displaystyle C} $C$ , maka P E + P F = P A + P B + P C + P D . {\displaystyle PE+PF=PA+PB+PC+PD.} $PE+PF=PA+PB+PC+PD.$

Untuk sebarang titik dan segi enam beraturan dengan jari-jari lingkaran luar R , {\displaystyle R,} $R,$ dengan jarak dari titik tersebut ke titik pusat segi enam dan ke masing-masing titik sudutnya secara berurutan adalah L {\displaystyle L} $L$ dan d i , {\displaystyle d_{i},} $d_{i},$ akan berlaku hubungan-hubungan berikut^[3] d 1 2 + d 4 2 = d 2 2 + d 5 2 = d 3 2 + d 6 2 = 2 ( R 2 + L 2 ) , d 1 2 + d 3 2 + d 5 2 = d 2 2 + d 4 2 + d 6 2 = 3 ( R 2 + L 2 ) , d 1 4 + d 3 4 + d 5 4 = d 2 4 + d 4 4 + d 6 4 = 3 ( ( R 2 + L 2 ) 2 + 2 R 2 L 2 ) , ( ∑ i = 1 6 d i 2 ) 2 = 4 ∑ i = 1 6 d i 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}&=2\left(R^{2}+L^{2}\right),\\d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}&=3\left(R^{2}+L^{2}\right),\\d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}&=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right),\\\left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}&=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}&=2\left(R^{2}+L^{2}\right),\\d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}&=3\left(R^{2}+L^{2}\right),\\d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}&=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right),\\\left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}&=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.\end{aligned}}$

Galeri bentuk seni enam alami dan buatan

Struktur kristal ideal dari grafena adalah kisi segi enam.
Segmen cermin ELT yang telah dirakit.
Sarang lebah.
Skat dari karapaks kura-kura.
Heksagon Saturnus, awan berpola segi enam disekitar kutub utara planet tersebut.
Mikrograf dari kepingan salju
Benzena, senyawa aromatik paling sederhana dengan bentuk segi enam.
Susunan segi enam pada gelembung busa
Struktur kristal dari senyawa hidrokarbon HBC yang dibentuk dari cincin-cincin aromatik.
Kolom-kolom basal alami di Giant's Causeway, Irlandia Utara; Lava perlu membeku secara perlahan untuk membentuk pola pecahan poligonal
Cermin dari Teleskop Luar Angkasa James Webb tersusun dari 18 segmen heksagonal
Di Prancis, l'Hexagone merujuk pada Prancis Metropolitan bentuk daerahnya yang mirip segi enam.
Kristal hanksite, salah satu dari banyak mineral dari keluarga kristal heksagonal
Catur segi enam buatan Władysław Gliński

Referensi

↑ Cube picture
↑ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, hlm. 9, ISBN 9780521098595, diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2016-01-02, diakses tanggal 2015-11-06.
↑ Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355. arXiv:2010.12340. doi:10.26713/cma.v11i3.1420tidak aktif 2024-09-12.{{cite journal}}: Pemeliharaan CS1: DOI nonaktif per September 2024 (link)

Pranala luar

(Inggris)Weisstein, Eric W. "Hexagon". MathWorld.
Definition and properties of a hexagon Diarsipkan 2016-02-20 di Wayback Machine. With interactive animation
Cassini Images Bizarre Hexagon on Saturn Diarsipkan 2010-09-27 di Wayback Machine.
Saturn's Strange Hexagon Diarsipkan 2010-02-16 di Wayback Machine.
A hexagonal feature around Saturn's North Pole Diarsipkan 2017-08-09 di Wayback Machine.
"Bizarre Hexagon Spotted on Saturn" Diarsipkan 2010-12-24 di Wayback Machine. - from Space.com (27 March 2007)

Poligon (daftar)

Segitiga

Segi empat

Berdasarkan jumlah
sisi

1–10 sisi	Monogon (1) Digon (2) Segitiga (Trigon, 3) Segiempat (Tetragon, 4) Segilima (Pentagon, 5) Segienam (Heksagon, 6) Segitujuh (Heptagon, 7) Segidelapan (Oktagon, 8) Segisembilan (Nonagon, Enneagon, 9) Segisepuluh (Dekagon, 10)
11–20 sisi	Hendekagon (11) Dodekagon (12) Tridekagon (13) Tetradekagon (14) Pentadekagon (15) Heksadekagon (16) Heptadekagon (17) Oktadekagon (18) Ikosagon (20)
Lebih dari 20 sisi	Ikositrigon (23) Ikositetragon (24) Triakontagon (30) Segi-257 Chiliagon (1000) Miriagon (10.000) Segi-65537 Megagon (1.000.000) Apeirogon (∞)