Bilangan segitiga

Bilangan segitiga menghitung benda yang diatur dalam segitiga sama sisi. Angka segitiga n {\displaystyle n} $n$ adalah jumlah titik dalam pengaturan segitiga dengan titik n {\displaystyle n} $n$ di satu sisi, dan sama dengan jumlah dari bilangan asli n {\displaystyle n} $n$ , yaitu dari 1 {\displaystyle 1} $1$ hingga n {\displaystyle n} $n$ . Urutan angka segitiga (barisan A000217 pada OEIS), mulai dari angka segitiga ke-0, adalah

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 120, 136, 153, 171, 190, 190, 210, 231, 253, 276, 300 , 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...

Wacław Sierpiński mengajukan pertanyaan tentang keberadaan empat bilangan segitiga yang berbeda dalam perkembangan geometris. Hal itu dikira tidak mungkin oleh ahli matematika Polandia Kazimierz Szymiczek dan kemudian dibuktikan oleh Fang dan Chen pada 2007.^[1]^[2]

Variasi dari bilangan ini disebut bilangan segitiga berkorelasi secara Smarandache, yaitu jika T ( a , b , c ) {\displaystyle T(a,b,c)} $T(a,b,c)$ dan T ( a 1 , b 1 , c 1 ) {\displaystyle T(a_{1},b_{1},c_{1})} $T(a_{1},b_{1},c_{1})$ berkorelasi secara Smarandache, maka Z ( a ) = Z ( a 1 ) {\displaystyle Z(a)=Z(a_{1})} $Z(a)=Z(a_{1})$ , Z ( b ) = Z ( b 1 ) {\displaystyle Z(b)=Z(b_{1})} $Z(b)=Z(b_{1})$ dan Z ( c ) = Z ( c 1 ) {\displaystyle Z(c)=Z(c_{1})} $Z(c)=Z(c_{1})$ dengan Z ( … ) {\displaystyle Z(\dots )} $Z(\dots )$ sebagai fungsi Smarandache.^[3]

Rumus

Bilangan segitiga dinyatakan dengan rumus berikut: T n = ∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 = ( n + 1 2 ) , {\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},} $T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},$ dengan ( n + 1 2 ) {\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}} $\textstyle {n+1 \choose 2}$ adalah koefisien binomial, yang menyatakan jumlah pasangan berbeda yang dapat dipilih dari n + 1 objek.

Bukti

Rumus bilangan segitiga di atas dapat dibuktikan menggunakan pembuktian induksi.^[4] Dimulai dari T 1 {\displaystyle T_{1}} $T_{1}$ yang menghasilkan 1 {\displaystyle 1} $1$ . Asumsi untuk suatu bilangan asli m {\displaystyle m} $m$ , maka T m = ∑ k = 1 m k = m ( m + 1 ) 2 . {\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}.} $T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}.$ Sekarang, dengan menambahkan m + 1 {\displaystyle m+1} $m+1$ , maka akan menghasilkan ∑ k = 1 m k + ( m + 1 ) = m ( m + 1 ) 2 + m + 1 = m ( m + 1 ) + 2 m + 2 2 = m 2 + m + 2 m + 2 2 = m 2 + 3 m + 2 2 = ( m + 1 ) ( m + 2 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}}.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}}.\end{aligned}}$

Dengan demikian, rumus di atas juga benar untuk m {\displaystyle m} $m$ , jika rumus tersebut benar untuk m + 1 {\displaystyle m+1} $m+1$ . Selain itu, karena rumus tersebut selalu benar untuk 1 {\displaystyle 1} $1$ , maka untuk 2 {\displaystyle 2} $2$ , 3 {\displaystyle 3} $3$ , dan seterusnya yang merupakan bilangan asli n {\displaystyle n} $n$ juga benar melalui induksi.

Referensi

↑ Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression
↑ Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers
↑ A Note on Smarandache Number Related Triangles, Hary Gunarto & AAK Majumdar, Scientia Magna, Volume 6, issue 1, page 1-6, 2010.
↑ Spivak, Michael (2008). Calculus (Edisi 4). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. hlm. 21–22. ISBN 978-0-914098-91-1.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)

Pranala luar

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Triangular numbers.

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Arithmetic series", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Triangular numbers at cut-the-knot
There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
(Inggris)Weisstein, Eric W. "Triangular Number". MathWorld.

Barisan dan deret

Barisan
bilangan bulat

Dasar	Barisan dan deret aritmetika Barisan dan deret geometri Barisan harmonik Bilangan persegi Bilangan kubik Faktorial Perpangkatan bilangan dua Perpangkatan bilangan tiga Perpangkatan bilangan 10
Lanjutan (daftar)	Barisan lengkap Bilangan Fibonacci Bilangan figurasi Bilangan heptagonal Bilangan heksagonal Bilangan Lucas Bilangan Pell Bilangan pentagonal Bilangan poligonal Bilangan segitiga

Sifat-sifat barisan

Sifat-sifat deret

Deret	Selang-seling Konvergen Divergen Teleskopik
Konvergensi	Mutlak Bersyarat Seragam

Deret eksplisit

konvergen	1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 1 + 1/2^s+ 1/3^s + ... (Fungsi zeta Riemann)
Divergen	1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Deret Grandi) Deret aritmetika tak terbatas 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (deret harmonik) 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (faktorial selaing-seling) 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (Invers bilangan prima)