Barisan Cauchy

Contoh barisan Cauchy: jarak antar suku dari barisan semakin kecil seiring bergeraknya barisan.

Suatu barisan yang bukan barisan Cauchy. Suku dari barisan tidak saling mendekat seiring bergeraknya barisan.

Dalam analisis matematika, suatu barisan Cauchy, adalah barisan dari bilangan riil, bilangan kompleks, titik dalam ruang metrik, atau lebih umum lagi dari ruang seragam, yang mana suku-sukunya mendekat dan semakin dekat satu sama lain.^[1] Nama barisan ini diambil dari nama matematikawan Prancis Augustin Louis Cauchy.

Pengertian barisan Cauchy penting dalam penentuan kelengkapan suatu ruang. Apabila barisan Cauchy dalam suatu ruang selalu konvergen (menuju suatu titik dalam ruang tersebut), ruang tersebut dikatakan lengkap. Contoh ruang yang lengkap adalah bilangan riil dan bilangan kompleks.

Dalam bilangan riil atau kompleks

Barisan bilangan riil atau kompleks ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} $(x_{n})$ dikatakan Cauchy, atau memenuhi kriteria Cauchy, apabila untuk setiap ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} $\varepsilon >0$ ada indeks N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } $N\in \mathbb {N}$ sedemikian sehingga suku-suku setelah indeks tersebut berjarak kurang dari ε {\displaystyle \varepsilon } $\varepsilon$ . Dalam notasi berkuantor dapat ditulis sebagai

∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ m , n ≥ N : | a m − a n | < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon } $\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon$

dengan | x | {\displaystyle |x|} $|x|$ merupakan fungsi mutlak dari x {\displaystyle x} $x$ .

Rujukan

↑ Gunawan, Hendra (2009). Pengantar Analisis Real (PDF). Bandung.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Lokasi tanpa penerbit (link) Pemeliharaan CS1: Status URL (link)

Barisan dan deret

Barisan
bilangan bulat

Dasar	Barisan dan deret aritmetika Barisan dan deret geometri Barisan harmonik Bilangan persegi Bilangan kubik Faktorial Perpangkatan bilangan dua Perpangkatan bilangan tiga Perpangkatan bilangan 10
Lanjutan (daftar)	Barisan lengkap Bilangan Fibonacci Bilangan figurasi Bilangan heptagonal Bilangan heksagonal Bilangan Lucas Bilangan Pell Bilangan pentagonal Bilangan poligonal Bilangan segitiga

Sifat-sifat barisan

Sifat-sifat deret

Deret	Selang-seling Konvergen Divergen Teleskopik
Konvergensi	Mutlak Bersyarat Seragam

Deret eksplisit

konvergen	1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 1 + 1/2^s+ 1/3^s + ... (Fungsi zeta Riemann)
Divergen	1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Deret Grandi) Deret aritmetika tak terbatas 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (deret harmonik) 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (faktorial selaing-seling) 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (Invers bilangan prima)