Ruang metrik

Dalam matematika, ruang metrik adalah himpunan yang memiliki definisi jarak antara elemen himpunan. Orang yang pertama kali menemukan ruang metrik adalah Maurice Fréchet.

Definisi formal

Diberikan sebarang himpunan tak kosong X {\displaystyle X} $X$ . Fungsi d : X × X → R {\displaystyle d:\;X\;\times \;X\rightarrow \mathbb {R} } $d:\;X\;\times \;X\rightarrow \mathbb {R}$ yang memenuhi sifat-sifat

d ( x , y ) ≥ 0 {\displaystyle d(x,y)\geq 0} $d(x,y)\geq 0$ untuk setiap x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} $x,y\in X$
d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0} $d(x,y)=0$ jika dan hanya jika x = y {\displaystyle x=y} $x=y$
d ( x , y ) = d ( y , x ) {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)} $d(x,y)=d(y,x)$ untuk setiap x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} $x,y\in X$
d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( y , z ) {\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)} $d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)$ untuk setiap x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X} $x,y,z\in X$

disebut jarak (metrik) pada X. Pasangan (X,d) disebut dengan ruang metrik.

Diberikan ruang metrik ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} $(X,d)$ untuk sebarang titik a ∈ X {\displaystyle a\in X} $a\in X$ dan konstanta r > 0 {\displaystyle r>0} $r>0$ , didefinisikan himpunan:

N r ( a ) = { x ∈ X : d ( x , a ) < r } {\displaystyle N_{r}(a)=\{x\in X:\;d(x,a)<r\}} $N_{r}(a)=\{x\in X:\;d(x,a)<r\}$

yang disebut bola buka dengan persekitaran titik a dengan jari-jari r. Dari himpunan tersebut, sifat-sifat topologis dari ruang metrik dapat ditelusuri lebih lanjut.

Contoh

Bilangan riil dengan nilai absolut sebagai metrik, yaitu X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } $X=\mathbb {R}$ dan d ( x , y ) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} $d(x,y)=|x-y|$ .
Ruang Euklides.