Kaidah pendiferensialan

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus fraksional Malliavin stokastik variasi
l b s

Kaidah pendiferensialan (atau aturan pendiferensialan; bahasa Inggris:Rules of differentiation) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung derivatif suatu fungsi dalam kalkulus. Untuk daftar yang lebih lengkap, lihat Tabel turunan.

Kaidah dasar pendiferensialan

Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi bilangan real (R) yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika didefinisikan dengan baik^[1][2]— termasuk bilangan kompleks (C).^[3]

Pendiferensialan adalah linier

Untuk fungsi-fungsi f dan g dan bilangan real a dan b apapun, turunan fungsi h(x) = af(x) + bg(x) terhadap x dapat ditulis

h ′ ( x ) = a f ′ ( x ) + b g ′ ( x ) . {\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).\,}

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

d ( a f + b g ) d x = a d f d x + b d g d x . {\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}

Kasus-kasus khusus meliputi:

• Kaidah faktor konstan

( a f ) ′ = a f ′ {\displaystyle (af)'=af'\,}

• Kaidah penjumlahan

( f + g ) ′ = f ′ + g ′ {\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}

• Kaidah pengurangan

( f − g ) ′ = f ′ − g ′ . {\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}

Kaidah hasil kali

Untuk fungsi-fungsi f dan g, turunan fungsi h(x) = f(x) g(x) terhadap x dapat ditulis

h ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

d ( f g ) d x = d f d x g + f d g d x . {\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}

Kaidah rantai

Turunan dari fungsi h(x) = f(g(x)) terhadap x dapat ditulis

h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . {\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

d h d x = d f ( g ( x ) ) d g ( x ) d g ( x ) d x . {\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{dx}}.\,}

Namun, dengan melonggarkan penafsiran h sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai

d h d x = d h d g d g d x . {\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}{\frac {dg}{dx}}.\,}

Kaidah fungsi inversi

Jika fungsi f mempunyai suatu fungsi invers g, yaitu g(f(x)) = x dan f(g(y)) = y, maka

g ′ = 1 f ′ ∘ g . {\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

d x d y = 1 d y / d x . {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}

Hukum pangkat, polinomial, hasil bagi, dan timbal-balik

Kaidah pangkat polinomial atau elementer

Jika f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} , untuk bilangan bulat n apapun maka

f ′ ( x ) = n x n − 1 . {\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\,}

Kasus-kasus khusus meliputi:

• Kaidah konstanta: jika f adalah fungsi konstanta f(x) = c, untuk bilangan c apapun, maka untuk semua x, f′(x) = 0.
• jika f(x) = x, maka f′(x) = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi:

  Turunan suatu fungsi affine adalah suatu konstanta: jika f(x) = ax + b, maka f′(x) = a.

Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.

Kaidah timbal-balik

Turunan dari h(x) = 1/f(x) untuk fungsi f (yang "tidak menghilang"; nonvanishing) manapun adalah:

h ′ ( x ) = − f ′ ( x ) ( f ( x ) ) 2 .   {\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}.\ }

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

d ( 1 / f ) d x = − 1 f 2 d f d x . {\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.\,}

Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan dari kaidah rantai (chain rule) dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; power rule).

Kaidah hasil bagi

Jika f dan g adalah fungsi, maka:

( f g ) ′ = f ′ g − g ′ f g 2 {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad } di mana g bukan nol.

Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus f(x) = 1.

Kaidah pemangkatan yang dirampat

Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" (functional power rule): untuk fungsi-fungsi f dan g apappun,

( f g ) ′ = ( e g ln ⁡ f ) ′ = f g ( f ′ g f + g ′ ln ⁡ f ) , {\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }

di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.

Kasus-kasus khusus:

• Jika f(x) = x^a, f′(x) = ax^{a − 1} bilamana a adalah suatu bilangan real dan x adalah positif.
• Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana g(x) = −1.

Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik

d d x ( c a x ) = c a x ln ⁡ c ⋅ a , c > 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={c^{ax}\ln c\cdot a},\qquad c>0}

perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

d d x ( e x ) = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{x}\right)=e^{x}}

d d x ( log c ⁡ x ) = 1 x ln ⁡ c , c > 0 , c ≠ 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}

persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

d d x ( ln ⁡ x ) = 1 x , x > 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0}

d d x ( ln ⁡ | x | ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}}

d d x ( x x ) = x x ( 1 + ln ⁡ x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}

Turunan logaritmik

Turunan logaritmik adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):

( ln ⁡ f ) ′ = f ′ f {\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad } wherever f is positive.

Turunan fungsi trigonometri

( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}	( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}	( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 {\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
( tan ⁡ x ) ′ = sec 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x {\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}	( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}
( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x {\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}	( arcsec ⁡ x ) ′ = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x {\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}	( arccsc ⁡ x ) ′ = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
( cot ⁡ x ) ′ = − csc 2 ⁡ x = − 1 sin 2 ⁡ x = − ( 1 + cot 2 ⁡ x ) {\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,}	( arccot ⁡ x ) ′ = − 1 1 + x 2 {\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}

Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen, arctan ⁡ ( y , x ) {\displaystyle \arctan(y,x)} . Nilainya terletak dalam rentang [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} dan mencerminkan kuadran dari titik ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} . Untuk kuadran pertama dan keempat (yaitu x > 0 {\displaystyle x>0} ) maka arctan ⁡ ( y , x > 0 ) = arctan ⁡ ( y / x ) {\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)} . Turunan parsialnya adalah

∂ arctan ⁡ ( y , x ) ∂ y = x x 2 + y 2 {\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}} , and ∂ arctan ⁡ ( y , x ) ∂ x = − y x 2 + y 2 . {\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}

Turunan fungsi hiperbolik

( sinh ⁡ x ) ′ = cosh ⁡ x = e x + e − x 2 {\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}	( arsinh x ) ′ = 1 x 2 + 1 {\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
( cosh ⁡ x ) ′ = sinh ⁡ x = e x − e − x 2 {\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}	( arcosh x ) ′ = 1 x 2 − 1 {\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
( tanh ⁡ x ) ′ = sech 2 x {\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}	( artanh x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
( sech x ) ′ = − tanh ⁡ x sech x {\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}	( arsech x ) ′ = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
( csch x ) ′ = − coth x csch x {\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}	( arcsch x ) ′ = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
( coth x ) ′ = − csch 2 x {\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}	( arcoth x ) ′ = − 1 1 − x 2 {\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'=-{1 \over 1-x^{2}}}

Turunan fungsi-fungsi khusus

Fungsi gamma Γ ′ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ln ⁡ t d t {\displaystyle \Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt} = Γ ( x ) ( ∑ n = 1 ∞ ( ln ⁡ ( 1 + 1 n ) − 1 x + n ) − 1 x ) = Γ ( x ) ψ ( x ) {\displaystyle =\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)}

Fungsi Riemann Zeta ζ ′ ( x ) = − ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n x = − ln ⁡ 2 2 x − ln ⁡ 3 3 x − ln ⁡ 4 4 x − ⋯ {\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!} = − ∑ p  prime p − x ln ⁡ p ( 1 − p − x ) 2 ∏ q  prime , q ≠ p 1 1 − q − x {\displaystyle =-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!}

Turunan integral

Misalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap x dalam fungsi

F ( x ) = ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t , {\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}

di mana fungsi-fungsi f ( x , t ) {\displaystyle f(x,t)\,} dan ∂ ∂ x f ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\,} keduanya kontinu dalam t {\displaystyle t\,} dan x {\displaystyle x\,} dalam wilayah tertentu bidang ( t , x ) {\displaystyle (t,x)\,} , termasuk a ( x ) ≤ t ≤ b ( x ) , {\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),} x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,} , dan fungsi-fungsi a ( x ) {\displaystyle a(x)\,} dan b ( x ) {\displaystyle b(x)\,} keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,} . Maka untuk x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,\,} :

F ′ ( x ) = f ( x , b ( x ) ) b ′ ( x ) − f ( x , a ( x ) ) a ′ ( x ) + ∫ a ( x ) b ( x ) ∂ ∂ x f ( x , t ) d t . {\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}

Rumus ini merupakan bentuk umum dari kaidah integral Leibniz dan dapat diturunkan menggunakan Teorema fundamental kalkulus.

Turunan ke-n

Ada sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke-n suatu fungsi, di mana n adalah sebuah bilangan bulat positif. Di antaranya:

Rumus Faà di Bruno

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

d n d x n [ f ( g ( x ) ) ] = n ! ∑ { k m } f ( r ) ( g ( x ) ) ∏ m = 1 n 1 k m ! ( g ( m ) ( x ) ) k m {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}

di mana r = ∑ m = 1 n − 1 k m {\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}} dan himpunan { k m } {\displaystyle \{k_{m}\}} terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine ∑ m = 1 n m k m = n {\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n} .

Kaidah Leibniz umum

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

d n d x n [ f ( x ) g ( x ) ] = ∑ k = 0 n ( n k ) d n − k d x n − k f ( x ) d k d x k g ( x ) {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}

Lihat pula

• Turunan fungsi
• Fungsi Hiperbolik
• Fungsi invers
• Fungsi trigonometri
• Kalkulus matriks

Referensi

Sumber dan pustaka tambahan

Kaidah-kaidah ini ditulis dalam banyak buku, baik kalkulus elementer maupun lanjutan, dalam matematika murni maupun terapan. Notasi dalam halaman ini (selain pada rujukan-rujukan di atas) dapat dijumpai dalam:

• Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
• The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
• Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
• NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

Pranala luar

• Derivative calculator with formula simplification
• A Table of Derivatives Diarsipkan 2012-10-31 di Wayback Machine