Matriks normal

Dalam matematika, suatu matriks persegi A {\displaystyle \mathbf {A} } dengan entri-entri kompleks dikatakan normal jika ia bersifat komutatif atas perkalian matriks dengan transpos konjugat A ∗ {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}} ; secara matematis dinyatakan sebagai A A ∗ = A ∗ A {\displaystyle \mathbf {AA} ^{*}=\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} } . Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadi operator normal di ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga, dan elemen normal di aljabar C*.

Definisi

Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan A {\displaystyle \mathbf {A} } adalah matriks kompleks berukuran n × n {\displaystyle n\times n} , pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

1. A {\displaystyle \mathbf {A} } adalah matriks normal.
2. A {\displaystyle \mathbf {A} } dapat diagonalkan oleh suatu matriks uniter.
3. Ada suatu himpun vektor-vektor eigen dari A {\displaystyle \mathbf {A} } yang membangun basis ortonormal bagi C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} .
4. ‖ A x ‖ = ‖ A ∗ x ‖ {\displaystyle \left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|} untuk sembarang x.
5. Norma Frobenius dari A {\displaystyle \mathbf {A} } dapat dihitung dari nilai-nilai eigen A {\displaystyle \mathbf {A} } , yakni tr ⁡ ( A ∗ A ) = ∑ j | λ j | 2 {\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}} .
6. Bagian Hermite 1 2 ( A + A ∗ ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{*})} dan bagian skew-Hermitian 1 2 ( A − A ∗ ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{*})} dari A {\displaystyle \mathbf {A} } saling komutatif.
7. A ∗ {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}} suatu polinomial (dengan derajat maksimum n − 1 {\displaystyle n-1} ) dalam A {\displaystyle \mathbf {A} } .^[a]
8. A ∗ = A U {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU} } untuk suatu matriks uniter A ∗ = A U {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU} } .^[1]
9. U {\displaystyle \mathbf {U} } dan P {\displaystyle \mathbf {P} } saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki dekomposisi kutub A = U P {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {UP} } dengan suatu matriks uniter U {\displaystyle \mathbf {U} } dan suatu matriks semidefinit positif P {\displaystyle \mathbf {P} } .
10. A {\displaystyle \mathbf {A} } saling komutatif dengan suatu matriks normal N {\displaystyle \mathbf {N} } yang nilai-nilai eigennya yang unik.
11. σ i = | λ i | {\displaystyle \sigma _{i}=|\lambda _{i}|} untuk semua 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} , dengan σ 1 ≥ ⋯ ≥ σ n {\displaystyle \sigma _{1}\geq \dots \geq \sigma _{n}} dan | λ 1 | ≥ ⋯ ≥ | λ n | {\displaystyle |\lambda _{1}|\geq \dots \geq |\lambda _{n}|} masing-masing adalah nilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dari A {\displaystyle \mathbf {A} } .^[2]

Kasus khusus

Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks uniter, Hermite, dan skew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks ortogonal, simetrik, dan skew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau (skew-)Hermite. sebagai contoh,

A = [ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}

tidak uniter, Hermite, maupun skew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena

A A ∗ = [ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ] = A ∗ A . {\displaystyle AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.}

Catatan kaki

Referensi

Sumber

• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.
• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7.