Matriks normal

Dalam matematika, suatu matriks persegi A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ dengan entri-entri kompleks dikatakan normal jika ia bersifat komutatif atas perkalian matriks dengan transpos konjugat A ∗ {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}} $\mathbf {A} ^{*}$ ; secara matematis dinyatakan sebagai A A ∗ = A ∗ A {\displaystyle \mathbf {AA} ^{*}=\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} } $\mathbf {AA} ^{*}=\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A}$ . Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadi operator normal di ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga, dan elemen normal di aljabar C*.

Definisi

Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ adalah matriks kompleks berukuran n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ , pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ adalah matriks normal.
A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ dapat diagonalkan oleh suatu matriks uniter.
Ada suatu himpun vektor-vektor eigen dari A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ yang membangun basis ortonormal bagi C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} $\mathbb {C} ^{n}$ .
‖ A x ‖ = ‖ A ∗ x ‖ {\displaystyle \left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|} $\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ untuk sembarang x.
Norma Frobenius dari A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ dapat dihitung dari nilai-nilai eigen A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ , yakni tr ⁡ ( A ∗ A ) = ∑ j | λ j | 2 {\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}} ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ .
Bagian Hermite 1 2 ( A + A ∗ ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{*})} ${\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{*})$ dan bagian skew-Hermitian 1 2 ( A − A ∗ ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{*})} ${\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{*})$ dari A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ saling komutatif.
A ∗ {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}} $\mathbf {A} ^{*}$ suatu polinomial (dengan derajat maksimum n − 1 {\displaystyle n-1} $n-1$ ) dalam A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ .^[a]
A ∗ = A U {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU} } $\mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU}$ untuk suatu matriks uniter A ∗ = A U {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU} } $\mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU}$ .^[1]
U {\displaystyle \mathbf {U} } $\mathbf {U}$ dan P {\displaystyle \mathbf {P} } $\mathbf {P}$ saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki dekomposisi kutub A = U P {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {UP} } $\mathbf {A} =\mathbf {UP}$ dengan suatu matriks uniter U {\displaystyle \mathbf {U} } $\mathbf {U}$ dan suatu matriks semidefinit positif P {\displaystyle \mathbf {P} } $\mathbf {P}$ .
A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ saling komutatif dengan suatu matriks normal N {\displaystyle \mathbf {N} } $\mathbf {N}$ yang nilai-nilai eigennya yang unik.
σ i = | λ i | {\displaystyle \sigma _{i}=|\lambda _{i}|} $\sigma _{i}=|\lambda _{i}|$ untuk semua 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} $1\leq i\leq n$ , dengan σ 1 ≥ ⋯ ≥ σ n {\displaystyle \sigma _{1}\geq \dots \geq \sigma _{n}} $\sigma _{1}\geq \dots \geq \sigma _{n}$ dan | λ 1 | ≥ ⋯ ≥ | λ n | {\displaystyle |\lambda _{1}|\geq \dots \geq |\lambda _{n}|} $|\lambda _{1}|\geq \dots \geq |\lambda _{n}|$ masing-masing adalah nilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dari A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ .^[2]

Kasus khusus

Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks uniter, Hermite, dan skew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks ortogonal, simetrik, dan skew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau (skew-)Hermite. sebagai contoh,

A = [ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}} $A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}$

tidak uniter, Hermite, maupun skew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena

A A ∗ = [ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ] = A ∗ A . {\displaystyle AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.} $AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.$

Catatan kaki

↑ Bukti: Jika A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ normal, gunakan rumus interpolasi Lagrange untuk mengonstruksi suatu polinomial P {\displaystyle P} $P$ sedemikian sehingga λ j ¯ = P ( λ j ) {\displaystyle {\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})} ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ , dengan λ j {\displaystyle \lambda _{j}} $\lambda _{j}$ adalah nilai-nilai eigen dari A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ .

Referensi

↑ Horn & Johnson (1985), hlm. 109
↑ Horn & Johnson (1991), hlm. 157

Sumber

Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.
Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7.

l b s Kelas-kelas matriks
Batasan pada elemen matriks	(0,1) Alternatif Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-simetris Panah condong Bidiagonal Biner Bisimetris Diagonal balok Blok Blok segitiga Sentrosimetri Konferensi Hadamard kompleks Kopositif Dominan diagonal Ekuivalen Permutasi generalisasi Bilangan bulat Logis Monomial Nonnegatif Dipartisi Persimetris Polinomial Positif Kuarter Tanda Signatur Hermitian-miring Simetris-miring Garis langit Z Boole Cauchy Diagonal Elementer Frobenius Hadamard Hankel Hermite Hessenberg Metzler Moore Parisi Pita Permutasi Rongga Segitiga Simetrik Sylvester Transformasi Fourier diskret Tridiagonal Toeplitz Uniter Vandermonde Walsh
Konstan	Bergeser Pertukaran Hilbert Identitas Lehmer Nol Pascal Pauli Redheffer Satu
Batasan pada nilai eigen dan vektor eigen-nya	Kompasi Konvergen Defektif Diagonalisasi Generalisasi-positif Stabilitas Hurwitz Stieltjes
Batasan pada hasil perkalian atau inversnya	Congruent Involutori Generalisasi unimodular Penimbangan Idempoten atau Proyeksi Nilpoten Normal Ortogonal Singular Terbalikkan (nonsingular) Unimodular Unipoten
Dengan aplikasi tertentu	Adjugat Tanda alternatif Augmenten Lingkaran Komutasi Kofunsi Derogasi Duplikasi Eliminasi Jarak Euklides Matriks fundamental (persamaan diferensial linear) Generator Geser Persamaan Acak Bézout Carleman Cartan Coxeter Gram Hesse Householder Imbalan Jacobi Jarak Kofaktor Seifert Simplektik Transformasi Pick Positif total Rotasi Wedderburn X–Y–Z
Digunakan dalam statistika	Centering Design Dispersion Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Bernoulli Korelasi Kovariansi Stokastik (Markov)
Digunakan dalam teori graf	Adjacency Biadjacency Degree Incidence Seidel adjacency Skew-adjacency Edmonds Laplace Tutte
Digunakan dalam sains dan teknik	Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Irregular Overlap State transition Substitution Z (chemistry) Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Densitas Gamma Gell-Mann Hamilton S
Istilah yang berhubungan	Jordan canonical form Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Quaternionic matrix Bebas linear Bentuk eselon baris Invers semu Wronskian
Daftar jenis matriks Kategori:Matriks