Matriks identitas

Dalam aljabar linear, matriks identitas (atau terkadang secara rancu disebut dengan matriks satuan) berukuran n adalah matriks persegi berukuran n × n dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan bernilai 0 di elemen-elemen lainnya. Matriks identitas ditulis sebagai I_n, atau sekadar I jika ukuran n dapat diketahui dari konteks pembahasan.^[1][2] Beberapa buku matematika menggunakan singkatan U atau E yang mengacu kepada "unit matrix" dalam bahasa Inggris (matriks satuan)^[3] dan terjemahannya dalam bahasa Jerman, "Einheitsmatrix".^[4]

I 1 = [ 1 ] ,   I 2 = [ 1 0 0 1 ] ,   I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ,   ⋯ ,   I n = [ 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ] {\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}

Jika matriks A berukuran m×n, perkalian matriks A dengan matriks identitas akan memberikan hasil berikut:

I m A = A I n = A . {\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.\,}

Ketika matriks berukuran n x n digunakan untuk mewakili transformasi linear dari ruang vektor dimensi-n ke dirinya sendiri, I_n mewakili fungsi identitas dan tidak tergantung pada basis yang digunakan.

Kolom ke-i dari matriks identitas adalah vektor satuan e_i (vektor dengan elemen ke-i bernilai 1, dan bernilai 0 untuk elemen-elemen lainnya). Determinan dari matriks identitas bernilai 1, dan terasnya bernilai n.

Dengan menggunakan notasi yang sama terkadang digunakan untuk menuliskan matriks diagonal, kita dapat menulis

I n = diag ( 1 , 1 , … , 1 ) . {\displaystyle I_{n}={\text{diag}}(1,\,1,\dots ,\,1).}

Matriks identitas juga dapat dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker:

( I n ) i j = δ i j . {\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}

Ketika matriks identitas adalah hasil perkalian dari dua matriks persegi, kedua persegi tersebut dikatakan saling invers.

Matriks identitas adalah satu-satunya matriks idempoten dengan determinan yang tidak bernilai 0. Dengan kata lain, matriks identitas adalah satu-satunya matriks yang:

• Jika dikalikan dengan dirinya sendiri, akan menghasilkan dirinya sendiri.
• Setiap kolom dan setiap barisnya saling bebas linear.

Referensi

1. ↑ "Compendium of Mathematical Symbols | Math Vault" (dalam bahasa American English). 2020-03-01EST16:14:32-05:00. Diakses tanggal 2021-03-02.{{cite web}}: Periksa nilai tanggal dalam: |date=
2. ↑ "Identity matrix: intro to identity matrices (article) | Khan Academy". Khan Academy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-03-02.
3. ↑ Pipes, Louis Albert (1963). Matrix Methods for Engineering. Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics. Prentice-Hall. hlm. 91.
4. ↑ "Identity Matrix" di situs MathWorld

Pranala luar

• Identity matrix, PlanetMath.org.