Matriks terbalikkan

Dalam aljabar linear, sebuah matriks persegi A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ berukuran n × n {\displaystyle n\!\times \!n} $n\!\times \!n$ terbalikkan (invertible) atau tidak singular, jika terdapat matriks persegi B {\displaystyle \mathbf {B} } $\mathbf {B}$ dengan ukuran yang sama dengan A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ , dan memenuhi hubungan:

A B = B A = I n {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\ } $\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\$

dengan I n {\displaystyle \mathbf {I} _{n}} $\mathbf {I} _{n}$ melambangkan matriks identitas berukuran n × n {\displaystyle n\!\times \!n} $n\!\times \!n$ , dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum. Jika hubungan tersebut berlaku, maka matriks B {\displaystyle \mathbf {B} } $\mathbf {B}$ disebut sebagai balikan atau invers (multiplikatif) dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ , dan diberi lambang A − 1 {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}} $\mathbf {A} ^{-1}$ .

Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks singular. Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran m × n {\displaystyle m\!\times \!n} $m\!\times \!n$ dan m ≠ n {\displaystyle m\neq n} $m\neq n$ ) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ berukuran m × n {\displaystyle m\!\times \!n} $m\!\times \!n$ dengan rank n {\displaystyle n} $n$ (nilai n ≤ m {\displaystyle n\leq m} $n\leq m$ ), maka A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks B {\displaystyle \mathbf {B} } $\mathbf {B}$ berukuran n × m {\displaystyle n\!\times \!m} $n\!\times \!m$ yang memenuhi hubungan B A = I n . {\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} =\mathbf {I} _{n}.} $\mathbf {B} \mathbf {A} =\mathbf {I} _{n}.$ Sedangkan jika rank matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ adalah m {\displaystyle m} $m$ (nilai m ≤ n {\displaystyle m\leq n} $m\leq n$ ), maka A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks B {\displaystyle \mathbf {B} } $\mathbf {B}$ berukuran n × m {\displaystyle n\!\times \!m} $n\!\times \!m$ yang memenuhi hubungan A B = I m . {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {I} _{m}.} $\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {I} _{m}.$

Sifat

Teorema matriks terbalikkan

Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ adalah matriks persegi berukuran n × n {\displaystyle n\!\times \!n} $n\!\times \!n$ , dengan entri-entri adalah elemen dari suatu lapangan K {\displaystyle K} $K$ (misalnya, lapangan bilangan real R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ ). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ memenuhi semua pernyataan, atau matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.^[1]^[2]

Matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ terbalikkan. Dengan kata lain, matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ memiliki sebuah invers (atau tidak singular).
Ada sebuah matriks B {\displaystyle \mathbf {B} } $\mathbf {B}$ berukuran n × n {\displaystyle n\!\times \!n} $n\!\times \!n$ yang memenuhi A B = B A = I n {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\ } $\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\$
Matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ dapat diubah menjadi matriks identitas I n {\displaystyle \mathbf {I} _{n}} $\mathbf {I} _{n}$ lewat serangkaian operasi baris elementer, atau lewat serangkaian operasi kolom elementer.
Matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) matriks-matriks elementer
Matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ memiliki n {\displaystyle n} $n$ posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form).
Persamaan A x = 0 {\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} } $\mathbf {Ax} =\mathbf {0}$ hanya memiliki solusi trivial, yakni x = 0 {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} } $\mathbf {x} =\mathbf {0}$
Persamaan A x = b {\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} } $\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$ tepat memiliki satu solusi, untuk semua b ∈ K n {\displaystyle \mathbf {b} \in K^{n}} $\mathbf {b} \in K^{n}$
Transformasi linear x ↦ A x {\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {Ax} } $\mathbf {x} \mapsto \mathbf {Ax}$ adalah sebuah bijeksi dari K n {\displaystyle K^{n}} $K^{n}$ ke K n {\displaystyle K^{n}} $K^{n}$
Kernel dari A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga Ker ⁡ ( A ) = { 0 } {\displaystyle \operatorname {Ker} (\mathbf {A} )=\{\mathbf {0} \}} $\operatorname {Ker} (\mathbf {A} )=\{\mathbf {0} \}$
Determinan dari A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ sama dengan 0.
Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$
Rank A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ penuh; dengan kata lain, Rank ⁡ A = n {\displaystyle \operatorname {Rank} \mathbf {A} =n} $\operatorname {Rank} \mathbf {A} =n$
Kolom-kolom dari A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ saling bebas linear. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.
Span dari kolom-kolom matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ adalah K n {\displaystyle K^{n}} $K^{n}$ . Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ akan sama dengan K n {\displaystyle K^{n}} $K^{n}$
Ruang kolom dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ adalah K n {\displaystyle K^{n}} $K^{n}$ . Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$
Kolom-kolom matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ membentuk sebuah basis bagi K n {\displaystyle K^{n}} $K^{n}$
Transpos dari A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ , yakni matriks A T {\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}} $\mathbf {A} ^{\text{T}}$ juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.
Matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ memiliki invers kiri (yakni matriks B {\displaystyle \mathbf {B} } $\mathbf {B}$ sehingga B A = I {\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} } $\mathbf {BA} =\mathbf {I}$ ) dan invers kanan (yakni matriks C {\displaystyle \mathbf {C} } $\mathbf {C}$ sehingga A C = I {\displaystyle \mathbf {AC} =\mathbf {I} } $\mathbf {AC} =\mathbf {I}$ ). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama, B = C = A − 1 {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} =\mathbf {A} ^{-1}} $\mathbf {B} =\mathbf {C} =\mathbf {A} ^{-1}$

Hubungan dengan adjugat

Adjugat dari suatu matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ dapat digunakan untuk mencari invers dari A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ , dengan menggunakan hubungan:

Jika A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ memiliki invers, maka

A − 1 = 1 det ( A ) adj ⁡ ( A ) . {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).} $\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).$

Sifat-sifat lain

Selain sifat-sifat pada bagian-bagian sebelumnya, matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ berukuran n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ yang terbalikkan juga memiliki beberapa sifat berikut:

( A − 1 ) − 1 = A {\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A} } $(\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A}$ ;
( k A ) − 1 = k − 1 A − 1 {\displaystyle (k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}} $(k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$ untuk sembarang skalar k {\displaystyle k} $k$ yang tidak sama dengan 0;
( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T {\displaystyle (\mathbf {A} ^{\text{T}})^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\text{T}}} $(\mathbf {A} ^{\text{T}})^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\text{T}}$ ;
det ( A − 1 ) = 1 det ( A − 1 ) {\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{-1})={\frac {1}{\det(\mathbf {A} ^{-1})}}} $\det(\mathbf {A} ^{-1})={\frac {1}{\det(\mathbf {A} ^{-1})}}$ ;
Untuk sembarang matriks B {\displaystyle \mathbf {B} } $\mathbf {B}$ yang dapat dibalik dan yang berukuran sama dengan A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ , akan berlaku ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 {\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}} $(\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$ . Hal ini dapat diperumum untuk kasus matriks-matriks A 1 , … , A k {\displaystyle \mathbf {A} _{1},\,\dots ,\,\mathbf {A} _{k}} $\mathbf {A} _{1},\,\dots ,\,\mathbf {A} _{k}$ berukuran n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ dan dapat dibalik, yang akan memiliki hubungan ( A 1 A 2 ⋯ A k − 1 A k ) − 1 = A k − 1 A k − 1 − 1 ⋯ A 2 − 1 A 1 − 1 {\displaystyle (\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\dotsi \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\dotsi \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}} $(\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\dotsi \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\dotsi \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}$
Jika A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ memiliki kolom-kolom yang saling ortonormal, maka ( A x ) + = x + A − 1 {\displaystyle (\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}} $(\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}$ ; dengan + {\displaystyle ^{+}} $^{+}$ menyatakan invers Moore–Penrose dan x {\displaystyle \mathbf {x} } $\mathbf {x}$ adalah vektor;

Referensi

↑ Weisstein, Eric W. "Invertible Matrix Theorem". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08.
↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. hlm. 14. ISBN 978-0-521-38632-6..

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Inversion of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas di Google books
The Matrix Cookbook

l b s Kelas-kelas matriks
Batasan pada elemen matriks	(0,1) Alternatif Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-simetris Panah condong Bidiagonal Biner Bisimetris Diagonal balok Blok Blok segitiga Sentrosimetri Konferensi Hadamard kompleks Kopositif Dominan diagonal Ekuivalen Permutasi generalisasi Bilangan bulat Logis Monomial Nonnegatif Dipartisi Persimetris Polinomial Positif Kuarter Tanda Signatur Hermitian-miring Simetris-miring Garis langit Z Boole Cauchy Diagonal Elementer Frobenius Hadamard Hankel Hermite Hessenberg Metzler Moore Parisi Pita Permutasi Rongga Segitiga Simetrik Sylvester Transformasi Fourier diskret Tridiagonal Toeplitz Uniter Vandermonde Walsh
Konstan	Bergeser Pertukaran Hilbert Identitas Lehmer Nol Pascal Pauli Redheffer Satu
Batasan pada nilai eigen dan vektor eigen-nya	Kompasi Konvergen Defektif Diagonalisasi Generalisasi-positif Stabilitas Hurwitz Stieltjes
Batasan pada hasil perkalian atau inversnya	Congruent Involutori Generalisasi unimodular Penimbangan Idempoten atau Proyeksi Nilpoten Normal Ortogonal Singular Terbalikkan (nonsingular) Unimodular Unipoten
Dengan aplikasi tertentu	Adjugat Tanda alternatif Augmenten Lingkaran Komutasi Kofunsi Derogasi Duplikasi Eliminasi Jarak Euklides Matriks fundamental (persamaan diferensial linear) Generator Geser Persamaan Acak Bézout Carleman Cartan Coxeter Gram Hesse Householder Imbalan Jacobi Jarak Kofaktor Seifert Simplektik Transformasi Pick Positif total Rotasi Wedderburn X–Y–Z
Digunakan dalam statistika	Centering Design Dispersion Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Bernoulli Korelasi Kovariansi Stokastik (Markov)
Digunakan dalam teori graf	Adjacency Biadjacency Degree Incidence Seidel adjacency Skew-adjacency Edmonds Laplace Tutte
Digunakan dalam sains dan teknik	Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Irregular Overlap State transition Substitution Z (chemistry) Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Densitas Gamma Gell-Mann Hamilton S
Istilah yang berhubungan	Jordan canonical form Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Quaternionic matrix Bebas linear Bentuk eselon baris Invers semu Wronskian
Daftar jenis matriks Kategori:Matriks