Matriks rotasi

Dalam aljabar linear, matriks rotasi adalah matriks transformasi yang digunakan untuk melakukan rotasi dalam ruang Euclidean. Misalnya, dengan menggunakan konvensi di bawah ini, matriks

R = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] {\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}} $R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$

memutar titik-titik pada bidang xy berlawanan arah jarum jam melalui θ terhadap sumbu x terhadap titik asal sistem koordinat kartesius dua dimensi. Untuk melakukan rotasi pada titik bidang dengan koordinat standar v = (x, y), harus ditulis sebagai vektor kolom, dan dikalikan dengan matriks R:

R v = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ x y ] = [ x cos ⁡ θ − y sin ⁡ θ x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ ] . {\displaystyle R\mathbf {v} \ =\ {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}.} $R\mathbf {v} \ =\ {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Jika x dan y adalah koordinat titik akhir suatu vektor, di mana x adalah kosinus dan y adalah sinus, maka persamaan di atas menjadi rumus sudut penjumlahan trigonometri. Memang, matriks rotasi dapat dilihat sebagai rumus sudut penjumlahan trigonometri dalam bentuk matriks. Salah satu cara untuk memahami ini adalah dengan mengatakan bahwa kita memiliki sebuah vektor pada sudut 30° dari sumbu x, dan kita ingin memutar sudut itu sebesar 45° lebih jauh. Kita hanya perlu menghitung koordinat titik akhir vektor pada 75°.

Dalam dua dimensi

Dalam dua dimensi, matriks rotasi standar memiliki bentuk berikut:

R ( θ ) = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] . {\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.} $R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.$

Ini memutar vektor kolom melalui perkalian matriks berikut,

[ x ′ y ′ ] = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ x y ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.} ${\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.$

Jadi, koordinat baru (x′, y′) dari suatu titik (x, y) setelah rotasi adalah

x ′ = x cos ⁡ θ − y sin ⁡ θ y ′ = x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ . {\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta \,\end{aligned}}.} ${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta \,\end{aligned}}.$

Contoh

Misalnya, ketika vektor

x ^ = [ 1 0 ] {\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}} $\mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}$

diputar dengan sudut θ, koordinat barunya adalah

[ cos ⁡ θ sin ⁡ θ ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},} ${\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},$

dan ketika vektor

y ^ = [ 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}} $\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}$

diputar dengan sudut , koordinat barunya adalah

[ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.} ${\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.$

Referensi

Arvo, James (1992), "Fast random rotation matrices", dalam David Kirk (ed.), Graphics Gems III, San Diego: Academic Press Professional, hlm. 117–120, Bibcode:1992grge.book.....K, ISBN 978-0-12-409671-4
Baker, Andrew (2003), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Springer, ISBN 978-1-85233-470-3
Bar-Itzhack, Itzhack Y. (Nov–Des 2000), "New method for extracting the quaternion from a rotation matrix", Journal of Guidance, Control and Dynamics, 23 (6): 1085–1087, Bibcode:2000JGCD...23.1085B, doi:10.2514/2.4654, ISSN 0731-5090{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Björck, Åke; Bowie, Clazett (Juni 1971), "An iterative algorithm for computing the best estimate of an orthogonal matrix", SIAM Journal on Numerical Analysis, 8 (2): 358–364, Bibcode:1971SJNA....8..358B, doi:10.1137/0708036, ISSN 0036-1429{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Cayley, Arthur (1846), "Sur quelques propriétés des déterminants gauches", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1846 (32): 119–123, doi:10.1515/crll.1846.32.119, ISSN 0075-4102, S2CID 199546746; reprinted as article 52 in Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, vol. I (1841–1853), Cambridge University Press, hlm. 332–336
Diaconis, Persi; Shahshahani, Mehrdad (1987), "The subgroup algorithm for generating uniform random variables", Probability in the Engineering and Informational Sciences, 1: 15–32, doi:10.1017/S0269964800000255, ISSN 0269-9648