Matriks blok

Dalam matematika, matriks blok atau matriks terpartisi adalah matriks yang diinterpretasikan telah dipecah menjadi beberapa bagian yang disebut blok atau submatriks.^[1] Secara intuitif, matriks yang diinterpretasikan sebagai matriks blok dapat divisualisasikan sebagai matriks asli dengan kumpulan garis horizontal dan vertikal, yang memecahnya, atau mempartisinya, menjadi kumpulan matriks yang lebih kecil.^[2] Matriks apa pun dapat diinterpretasikan sebagai matriks blok dalam satu atau lebih cara, dengan setiap interpretasi ditentukan oleh bagaimana baris dan kolomnya dipartisi.

Gagasan ini dapat dibuat lebih tepat untuk n {\displaystyle n} $n$ oleh m {\displaystyle m} $m$ matriks M {\displaystyle M} $M$ dengan mempartisi n {\displaystyle n} $n$ menjadi koleksi rowgroups {\displaystyle {\text{rowgroups}}} ${\text{rowgroups}}$ , dan kemudian mempartisi m {\displaystyle m} $m$ menjadi koleksi colgroups {\displaystyle {\text{colgroups}}} ${\text{colgroups}}$ . Matriks asli kemudian dianggap sebagai "total" dari kelompok-kelompok ini, dalam arti bahwa ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} $(i,j)$ entri matriks asli sesuai dengan cara 1-ke-1 dengan beberapa ( s , t ) {\displaystyle (s,t)} $(s,t)$ mengimbangi masuknya beberapa ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} $(x,y)$ , di mana x ∈ rowgroups {\displaystyle x\in {\text{rowgroups}}} $x\in {\text{rowgroups}}$ dan y ∈ colgroups {\displaystyle y\in {\text{colgroups}}} $y\in {\text{colgroups}}$ .

Aljabar matriks blok muncul secara umum dari produk ganda dalam kategori matriks.^[3]

Contoh

Matriks

P = [ 1 2 2 7 1 5 6 2 3 3 4 5 3 3 6 7 ] {\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}} $\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}$

dipartisi menjadi empat blok 2 × 2

P 11 = [ 1 2 1 5 ] , P 12 = [ 2 7 6 2 ] , P 21 = [ 3 3 3 3 ] , P 22 = [ 4 5 6 7 ] . {\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.} $\mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.$

Referensi

↑ Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory (Edisi reprint). New York: Dover. hlm. 37. ISBN 0-486-63946-0. We shall find that it is sometimes convenient to subdivide a matrix into rectangular blocks of elements. This leads us to consider so-called partitioned, or block, matrices.
↑ Anton, Howard (1994). Elementary Linear Algebra (Edisi 7th). New York: John Wiley. hlm. 30. ISBN 0-471-58742-7. A matrix can be subdivided or partitioned into smaller matrices by inserting horizontal and vertical rules between selected rows and columns.
↑ Macedo, H.D.; Oliveira, J.N. (2013). "Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach". Science of Computer Programming. 78 (11): 2160–2191. arXiv:1312.4818. doi:10.1016/j.scico.2012.07.012.