Kernel (aljabar linear)

Contoh untuk kernel-operator linier L : ( x , y ) ⟶ ( x , x ) {\displaystyle L:(x,y)\longrightarrow (x,x)} $L:(x,y)\longrightarrow (x,x)$ mengubah semua titik pada garis ( x = 0 , y ) {\displaystyle (x=0,y)} $(x=0,y)$ menjadi titik nol ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} $(0,0)$ , sehingga membentuk kernel untuk operator linier.

Dalam matematika, khususnya aljabar linear dan fungsi analisis, kernel dari sebuah peta linear (linear map) adalah himpunan semua vektor dalam domain pemetaan yang dipetakan ke vektor nol.^[1]^[2] Artinya, bagi suatu peta linear L yang memetakan ruang vektor V ke ruang vektor W, kernel dari L adalah himpunan semua elemen v dari V yang memenuhi persamaan L(v) = 0, dengan 0 menandakan vektor nol dari W.^[3] Hal ini dinyatakan secara simbolis sebagai:

ker ⁡ ( L ) = { v ∈ V ∣ L ( v ) = 0 } . {\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}{\text{.}}} $\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}{\text{.}}$

Kernel juga dikenal dengan istilah null space atau nullspace.

Sifat

Kernel L {\displaystyle L} $L$ adalah suatu subruang linear dari domain V {\displaystyle V} $V$ .^[3]^[4] Dalam peta linear L : V → W {\displaystyle L\colon V\to W} $L\colon V\to W$ , dua elemen di V {\displaystyle V} $V$ akan memiliki citra yang sama di W {\displaystyle W} $W$ , jika dan hanya jika selisih kedua elemen tersebut juga terletak di dalam kernel L {\displaystyle L} $L$ ; atau secara matematis:

L ( v 1 ) = L ( v 2 ) ⇔ L ( v 1 − v 2 ) = 0 {\displaystyle L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\;\Leftrightarrow \;L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0} } $L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\;\Leftrightarrow \;L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0}$ .

Hal ini mengakibatkan citra dari L {\displaystyle L} $L$ isomorfik ke ruang hasil bagi V {\displaystyle V} $V$ dengan kernel; atau secara matematis:

i m ⁡ ( L ) ≅ V / ker ⁡ ( L ) {\displaystyle \mathop {\mathrm {im} } (L)\cong V/\ker(L)} $\mathop {\mathrm {im} } (L)\cong V/\ker(L)$ .

Pada kasus V {\displaystyle V} $V$ memiliki dimensi yang hingga, hubungan ini menyiratkan teorema rank-nullity:

dim ⁡ ( ker ⁡ L ) + dim ⁡ ( i m ⁡ L ) = dim ⁡ ( V ) {\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\mathop {\mathrm {im} } L)=\dim(V)} $\dim(\ker L)+\dim(\mathop {\mathrm {im} } L)=\dim(V)$ .

Dalam hubungan ini, istilah rank atau peringkat merujuk pada besar dimensi citra dari L {\displaystyle L} $L$ , sedangkan nullity atau kenolan merujuk pada besar dimensi kernel dari L {\displaystyle L} $L$ .^[5]

Jika V {\displaystyle V} $V$ adalah ruang hasil kali dalam, hasil bagi V / ker ⁡ ( L ) {\displaystyle V/\ker(L)} $V/\ker(L)$ dapat diidentifikasi dengan komplemen ortogonal dalam V {\displaystyle V} $V$ dari ker ⁡ ( L ) {\displaystyle \ker(L)} $\ker(L)$ . Ini adalah perumuman untuk operator linear dari ruang baris, atau kocitra dari sebuah matriks.

Representasi sebagai perkalian matriks

Misalkan peta linear A {\displaystyle A} $A$ diwakili oleh matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ berukuran m × n {\displaystyle m\!\times \!n} $m\!\times \!n$ , dengan entri-entri berasal dari lapangan K {\displaystyle K} $K$ (biasanya R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ atau C {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$ ), dan beroperasi pada vektor kolom x {\displaystyle \mathbf {x} } $\mathbf {x}$ dengan n {\displaystyle n} $n$ komponen di atas lapangan K {\displaystyle K} $K$ . Kernel dari peta linear ini adalah himpunan solusi dari persamaan A x = 0 {\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} } $\mathbf {Ax} =\mathbf {0}$ , dengan 0 {\displaystyle \mathbf {0} } $\mathbf {0}$ adalah vektor nol. Dimensi dari kernel A {\displaystyle A} $A$ disebut nolitas dari A {\displaystyle A} $A$ . Dengan menggunakan notasi himpunan, kernel A {\displaystyle A} $A$ dapat ditulis sebagai N ⁡ ( A ) = Null ⁡ ( A ) = ker ⁡ ( A ) = { x ∈ K n | A x = 0 } . {\displaystyle \operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}|\mathbf {Ax} =\mathbf {0} \right\}.} $\operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}|\mathbf {Ax} =\mathbf {0} \right\}.$ Lebih lanjut, persamaan matriks tersebut setara dengan sistem persamaan linear:

A x = 0 ⟺ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = 0 . {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \iff {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}} $A\mathbf {x} =\mathbf {0} \iff {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}$

Dengan demikian, anggota dari kernel dari A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan di atas.

Sifat subruang

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Kernel (linear algebra) di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Kernel dari matriks A {\displaystyle A} $A$ (dengan ordo m × n {\displaystyle m\!\times \!n} $m\!\times \!n$ ) atas medan K {\displaystyle K} $K$ adalah subruang linear dari K n {\displaystyle \mathbf {K} ^{n}} $\mathbf {K} ^{n}$ . Artinya, kernel dari A {\displaystyle A} $A$ , himpunan Null ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Null} (A)} $\operatorname {Null} (A)$ , mengikuti tiga sifat berikut:

Null ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Null} (A)} $\operatorname {Null} (A)$ selalu memiliki vektor nol, karena A 0 = 0 {\displaystyle A\mathbf {0} =\mathbf {0} } $A\mathbf {0} =\mathbf {0}$ .
Jika x ∈ Null ⁡ ( A ) {\displaystyle x\in \operatorname {Null} (A)} $x\in \operatorname {Null} (A)$ dan y ∈ Null ⁡ ( A ) {\displaystyle y\in \operatorname {Null} (A)} $y\in \operatorname {Null} (A)$ , maka x + y ∈ Null ⁡ ( A ) {\displaystyle x+y\in \operatorname {Null} (A)} $x+y\in \operatorname {Null} (A)$ . Sifatnya mengikuti distributisi perkalian matriks terhadap penambahan.
Jika x ∈ Null ⁡ ( A ) {\displaystyle x\in \operatorname {Null} (A)} $x\in \operatorname {Null} (A)$ dan c {\displaystyle c} $c$ adalah sebuah skalar c ∈ K {\displaystyle c\in K} $c\in K$ , maka c x ∈ Null ⁡ ( A ) {\displaystyle c\mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)} $c\mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)$ , karena A ( c x ) = c ( A x ) = c 0 = 0 {\displaystyle A(c\mathbf {x} )=c(A\mathbf {x} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0} } $A(c\mathbf {x} )=c(A\mathbf {x} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0}$ .

Ruang baris matriks

Artikel utama: Rank–nullity theorem

Hasil kali A x {\displaystyle A\mathbf {x} } $A\mathbf {x}$ ini dapat ditulis dalam bentuk darab bintik atau titik hasil kali dari vektor sebagai berikut:

A x = [ a 1 ⋅ x a 2 ⋅ x ⋮ a m ⋅ x ] {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}} $A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}$ .

Dalam hal ini, a 1 , … , a m {\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{m}} $\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{m}$ menunjukkan baris matriks A {\displaystyle A} $A$ . Ini mengikuti x {\displaystyle \mathbf {x} } $\mathbf {x}$ adalah kernel dari A {\displaystyle A} $A$ , jika dan hanya jika x {\displaystyle \mathbf {x} } $\mathbf {x}$ adalah ortogonal (atau tegak lurus) untuk setiap baris vektor dari A {\displaystyle A} $A$ (karena ortogonal didefinisikan sebagai memiliki titik hasil kali dari 0 {\displaystyle 0} $0$ ).

Ruang baris, atau kocitra, dari matriks A {\displaystyle A} $A$ adalah rentang dari baris vektor A {\displaystyle A} $A$ . Dengan alasan di atas, kernel dari A {\displaystyle A} $A$ adalah komplemen ortogonal untuk ruang baris. Artinya, vektor x {\displaystyle \mathbf {x} } $\mathbf {x}$ terletak pada kernel dari A {\displaystyle A} $A$ , jika dan hanya jika tegak lurus terhadap setiap vektor di ruang baris A {\displaystyle A} $A$ .

Dimensi ruang baris A {\displaystyle A} $A$ disebut peringkat dari A {\displaystyle A} $A$ , dan dimensi dari kernel A {\displaystyle A} $A$ disebut pembatalan A {\displaystyle A} $A$ . Jumlah ini terkait dengan urutan pembatalan teorema

rank ⁡ ( A ) + nullity ⁡ ( A ) = n {\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n} $\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n$ .^[5]

Ruang null kiri

Ruang null kiri, atau kokernel, matriks A {\displaystyle A} $A$ terdiri dari semua kolom vektor x {\displaystyle \mathbf {x} } $\mathbf {x}$ sehingga x ⊤ A = 0 ⊤ {\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }A=\mathbf {0} ^{\top }} $\mathbf {x} ^{\top }A=\mathbf {0} ^{\top }$ , di mana ⊤ {\displaystyle \top } $\top$ menunjukkan transpose dari matriks. Ruang null kiri A {\displaystyle A} $A$ adalah sama dengan kernel A ⊤ {\displaystyle A^{\top }} $A^{\top }$ . Ruang null kiri A {\displaystyle A} $A$ adalah pelengkap ortogonal untuk ruang kolom dari A {\displaystyle A} $A$ , dan ganda ke kokernel dari transformasi linear terkait. Kernel, Ruang baris, kolom ruang, dan ruang kosong di sebelah kiri A {\displaystyle A} $A$ adalah empat subruang fundamental terkait dengan matriks A.

Sistem non-homogen persamaan linear

Kernel juga memainkan peran dalam solusi untuk sistem non-homogen persamaan linear:

A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ atau a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$

Jika u {\displaystyle \mathbf {u} } $\mathbf {u}$ dan v {\displaystyle \mathbf {v} } $\mathbf {v}$ adalah dua kemungkinan solusi untuk persamaan di atas, maka

A ( u − v ) = A u − A v = b − b = 0 {\displaystyle A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} \,} $A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} \,$

Dengan demikian, perbedaan dua solusi untuk persamaan A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ terletak di kernel A {\displaystyle A} $A$ .

Ini mengikuti bahwa setiap solusi untuk persamaan A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ dapat dinyatakan sebagai jumlah solusi tetap v {\displaystyle \mathbf {v} } $\mathbf {v}$ dan elemen sebarang dari kernel. Artinya, solusi yang ditetapkan ke persamaan A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ adalah

{ v + x ∣ A v = b ∧ x ∈ Null ⁡ ( A ) } {\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\}} $\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\}$ ,

Secara geometrik, ini mengatakan bahwa solusi diatur untuk A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ adalah terjemahan geometri dari kernel A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ oleh vektor v {\displaystyle \mathbf {v} } $\mathbf {v}$ .

Contoh

Jika L : R m → R n {\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} $L\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ , maka kernel dari L {\displaystyle L} $L$ adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan linear. Seperti yang diilustrasikan di atas, jika L {\displaystyle L} $L$ adalah operator:

L ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 , − 4 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 ) {\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})} $L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})$

maka kernel L {\displaystyle L} $L$ adalah serangkaian solusi untuk persamaan

2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 = 0 − 4 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}$

Misalkan C [ 0 , 1 ] {\displaystyle C[0,1]} $C[0,1]$ melambangkan ruang vektor semua fungsi bernilai riil kontinu pada interval [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} $[0,1]$ , dan mendefinisikan L : C [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle L\colon C[0,1]\to \mathbb {R} } $L\colon C[0,1]\to \mathbb {R}$ berdasarkan kaidah

L ( f ) = f ( 0.3 ) {\displaystyle L(f)=f(0.3)} $L(f)=f(0.3)$ ,

maka kernel L {\displaystyle L} $L$ terdiri dari semua fungsi f ∈ C [ 0 , 1 ] {\displaystyle f\in C[0,1]} $f\in C[0,1]$ untuk f ( 0.3 ) = 0 {\displaystyle f(0.3)=0} $f(0.3)=0$ .

Misalkan C ∞ ( R ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )} $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ menjadi ruang vektor dari banyaknya fungsi terdiferensialkan R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , dan misalkan D : C ∞ ( R ) → C ∞ ( R ) {\displaystyle D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} )\to C^{\infty }(\mathbb {R} )} $D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} )\to C^{\infty }(\mathbb {R} )$ adalah operator diferensial:

D ( f ) = d f d x {\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}} $D(f)={\frac {df}{dx}}$ ,

maka kernel D {\displaystyle D} $D$ terdiri dari semua fungsi dalam C ∞ ( R ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )} $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ yang turunannya adalah nol, yaitu himpunan semua fungsi konstan.

Misalkan R ∞ {\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }} $\mathbb {R} ^{\infty }$ menjadi hasil kali langsung dari banyaknya salinan R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ , dan misalkan s : R ∞ → R ∞ {\displaystyle s\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty }} $s\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty }$ adalah operator diferensiasi.

s ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , … ) = ( x 2 , x 3 , x 4 , … ) , {\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ),} $s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ),$

maka kernel s {\displaystyle s} $s$ adalah subruang berdimensi satu yang terdiri dari semua vektor ( x 1 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle (x_{1},0,0,\dots )} $(x_{1},0,0,\dots )$ .

Jika V {\displaystyle V} $V$ adalah ruang hasil kali dalam dan W {\displaystyle W} $W$ adalah subruang, maka kernel dari proyeksi (aljabar linear) V → W {\displaystyle V\to W} $V\to W$ adalah komplemen ortogonal untuk W {\displaystyle W} $W$ di V {\displaystyle V} $V$ .

Perhitungan oleh eliminasi Gauss

Sebuah basis aljabar linear dari kernel matriks dapat dihitung oleh eliminasi Gauss.

Untuk tujuan ini, mengingat matriks A {\displaystyle A} $A$ , ordo m × n {\displaystyle m\!\times \!n} $m\!\times \!n$ , membangun baris pertama ditambah matriks [ A I ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]$ , di mana I {\displaystyle I} $I$ adalah matriks identitas n × n {\displaystyle n\!\times \!n} $n\!\times \!n$ .

Komputasi bentuk eselon kolom oleh eliminasi Gauss (atau metode lain yang sesuai), akan mendapatkan matriks [ B C ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ . Basis dari kernel A {\displaystyle A} $A$ terdiri dalam kolom taknol C {\displaystyle C} $C$ sehingga kolom yang sesuai B {\displaystyle B} $B$ adalah matriks atau kolom nol.

Sebenarnya, perhitungan dapat dihentikan segera setelah matriks atas di bentuk eselon kolom: sisa perhitungan terdiri dalam mengubah dasar ruang vektor yang dihasilkan oleh kolom yang bagian atas adalah nol.

Sebagai contoh, misalkan:

A = [ 1 0 − 3 0 2 − 8 0 1 5 0 − 1 4 0 0 0 1 7 − 9 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right]} $A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right]$ , maka [ A I ] = [ 1 0 − 3 0 2 − 8 0 1 5 0 − 1 4 0 0 0 1 7 − 9 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right]$ .

Tempatkan bagian atas di bentuk eselon kolom dengan operasi kolom pada seluruh matriks

[ B C ] = [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 − 2 8 0 1 0 − 5 1 − 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − 7 9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right]$

Tiga kolom terakhir B adalah kolom nol. Oleh karena itu, tiga vektor terakhir dari C,

[ 3 − 5 1 0 0 0 ] , [ − 2 1 0 − 7 1 0 ] , [ 8 − 4 0 9 0 1 ] {\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]} $\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]$

adalah basis dari kernel A {\displaystyle A} $A$ .

Bukti bahwa metode menghitung kernel: karena operasi kolom sesuai dengan pasca-perkalian oleh matriks terbalikkan, fakta bahwa [ A I ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]$ dikurangi ke [ B C ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ berarti bahwa ada ada matriks terbalikkan P {\displaystyle P} $P$ sehingga [ A I ] P = [ B C ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ dengan B {\displaystyle B} $B$ dalam bentuk eselon kolom. Jadi A P = B {\displaystyle AP=B} $AP=B$ , I P = C {\displaystyle IP=C} $IP=C$ , dan A C = B {\displaystyle AC=B} $AC=B$ . Sebuah kolom vektor v {\displaystyle v} $v$ termasuk dalam kernel A {\displaystyle A} $A$ (yaitu A v = 0 {\displaystyle Av=0} $Av=0$ ) jika dan hanya B w = 0 , {\displaystyle Bw=0,} $Bw=0,$ di mana w = P − 1 v = C − 1 v . {\displaystyle w=P^{-1}v=C^{-1}v.} $w=P^{-1}v=C^{-1}v.$ Ketika B {\displaystyle B} $B$ berada di bentuk eselon kolom, B w = 0 {\displaystyle Bw=0} $Bw=0$ , jika dan hanya jika entri bukan nol dari w {\displaystyle w} $w$ berpadanan dengan kolom nol dari B . {\displaystyle B.} $B.$ Mengalikan dengan C {\displaystyle C} $C$ , salah satunya dapat disimpulkan bahwa ini adalah kasus jika dan hanya v = C w {\displaystyle v=Cw} $v=Cw$ adalah kombinasi linear dari kolom yang sesuai dari C . {\displaystyle C.} $C.$

Komputasi titik mengambang

Untuk matriks yang entri-nya bilangan titik kambang, masalah komputasi kernel masuk akal hanya untuk matriks yang jumlah baris sama dengan peringkat bilangan titik kambang: karena kesalahan perbatasan, matriks titik kambang telah hampir selalu peringkat penuh, bahkan ketika peringkat matriks pendekatannya jauh lebih kecil.^[6]

Lihat pula

Referensi

↑ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon—Null". Math Vault (dalam bahasa American English). 2019-08-01. Diakses tanggal 15 Agustus 2020.{{cite web}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)
↑ Weisstein, Eric W. "Kernel". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 15 Agustus 2020.
1 2 "Kernel (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa American English). Diakses tanggal 15 Agustus 2020.
↑ Linear algebra, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in Lay 2005, Meyer 2001, and Strang's lecture.
1 2 Weisstein, Eric W. "Rank-Nullity Theorem". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 15 Agustus 2020.
↑ "Archived copy" (PDF). Diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2017-08-29. Diakses tanggal 15 Agustus 2020.{{cite web}}: Pemeliharaan CS1: Salinan terarsip sebagai judul (link)

Bibliografi

Lihat pula: Aljabar linear § Bacaan lebih lanjut

Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (Edisi 2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0.
Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (Edisi 3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7.
Meyer, Carl D. (2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari asli tanggal 2009-10-31.
Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (Edisi 2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3.
Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (Edisi 9th), Wiley International.
Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (Edisi 7th), Pearson Prentice Hall.
Lang, Serge (1987). Linear Algebra. Springer. ISBN 9780387964126.
Trefethen, Lloyd N.; Bau, David III (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9.

Pranala luar

Wikibooks memiliki buku di:

Linear Algebra/Null Spaces

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Kernel of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Khan Academy, Introduction to the Null Space of a Matrix

Sifat