Dalam aljabar linear, rentang linear atau span dari sebarang himpunan
S
{\displaystyle S}
berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di
S
.
{\displaystyle S.}
[1] Rentang linear dari
S
{\displaystyle S}
umum disimbolkan dengan
span
(
S
)
.
{\displaystyle {\text{span}}(S).}
[2] Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung
S
,
{\displaystyle S,}
maupun sebagai subruang yang mengandung
S
.
{\displaystyle S.}
Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.
Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor
V
{\displaystyle V}
adalah rentang linear dari subset
S
,
{\displaystyle S,}
beberapa pernyataan berikut umum digunakan:
S
{\displaystyle S}
merentang
V
,
{\displaystyle V,}
S
{\displaystyle S}
adalah himpunan merentang dari
V
,
{\displaystyle V,}
V
{\displaystyle V}
direntang/dibangkitkan oleh
S
,
{\displaystyle S,}
atau
S
{\displaystyle S}
adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari
V
.
{\displaystyle V.}
Definisi
Untuk sebarang ruang vektor
V
{\displaystyle V}
atas lapangan
K
,
{\displaystyle K,}
rentang dari suatu himpunan
S
{\displaystyle S}
yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan
W
{\displaystyle W}
dari semua subruang dari
V
{\displaystyle V}
yang mengandung
S
.
{\displaystyle S.}
Irisan
W
{\displaystyle W}
disebut sebagai subruang yang direntang oleh
S
,
{\displaystyle S,}
atau oleh vektor-vektor di
S
.
{\displaystyle S.}
Kebalikannya,
S
{\displaystyle S}
disebut himpunan merentang dari
W
{\displaystyle W}
, dan kita katakan
S
{\displaystyle S}
merentang
W
.
{\displaystyle W.}
Rentang dari
S
{\displaystyle S}
juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di
S
.
{\displaystyle S.}
[3][4][5][6] Secara matematis, ini dituliskan sebagai
span
(
S
)
=
{
∑
i
=
1
k
λ
i
v
i
|
k
∈
N
,
v
i
∈
S
,
λ
i
∈
K
}
.
{\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.}
Pada kasus
S
{\displaystyle S}
berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.
Contoh
Ruang vektor riil
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
dapat direntang oleh himpunan
{
(
−
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
)
}
{\displaystyle \{(-1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}}
. Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
. Jika
(
−
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle (-1,0,0)}
digantikan dengan
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle (1,0,0)}
, himpunan tersebut merupakan basis standar dari
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
. Contoh himpunan pembangkit lain dari
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
adalah
{
(
1
,
2
,
3
)
,
(
0
,
1
,
2
)
,
(
−
1
,
1
2
,
3
)
,
(
1
,
1
,
1
)
}
{\displaystyle \{(1,2,3),\,(0,1,2),\,(-1,{\tfrac {1}{2}},3),\,(1,1,1)\}}
, tetapi himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.
Himpunan
{
(
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
1
,
1
,
0
)
}
{\displaystyle \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(1,1,0)\}}
bukan himpunan merentang dari
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
, karena rentangnya adalah subruang semua vektor di
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
yang komponen terakhirnya bernilai
0.
{\displaystyle 0.}
Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan
{
(
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
}
,
{\displaystyle \{(1,0,0),\,(0,1,0)\},}
karena
(
1
,
1
,
0
)
{\displaystyle (1,1,0)}
adalah kombinasi linear dari
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle (1,0,0)}
dan
(
0
,
1
,
0
)
.
{\displaystyle (0,1,0).}
Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari
{
(
0
,
0
,
0
)
}
,
{\displaystyle \{(0,0,0)\},}
karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di
R
3
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}
dan
{
(
0
,
0
,
0
)
}
{\displaystyle \{(0,0,0)\}}
adalah irisan dari semua subruang tersebut.
Himpunan semua monomial
x
n
,
{\displaystyle x^{n},}
dengan
n
{\displaystyle n}
adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.
Teorema
Kesetaraan antar definisi
Untuk sebarang ruang vektor
V
{\displaystyle V}
atas lapangan
K
,
{\displaystyle K,}
himpunan semua kombinasi linear dari subset
S
{\displaystyle S}
dari
V
,
{\displaystyle V,}
adalah subruang terkecil dari
V
{\displaystyle V}
yang mengandung
S
.
{\displaystyle S.}
Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa
span
(
S
)
{\displaystyle {\text{span}}(S)}
adalah subruang dari
V
.
{\displaystyle V.}
Karena
S
{\displaystyle S}
adalah subset dari
V
,
{\displaystyle V,}
kita cukup membuktikan bahwa vektor
0
{\displaystyle \mathbf {0} }
anggota dari
span
(
S
)
,
{\displaystyle {\text{span}}(S),}
bahwa
span
(
S
)
{\displaystyle {\text{span}}(S)}
dibawah penjumlahan, dan bahwa
span
(
S
)
{\displaystyle {\text{span}}(S)}
tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan
S
=
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}
, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di
V
{\displaystyle V}
ada di
span
(
S
)
,
{\displaystyle {\text{span}}(S),}
karena
0
=
0
v
1
+
0
v
2
+
⋯
+
0
v
n
.
{\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}.}
Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari
S
{\displaystyle S}
akan menghasilkan kombinasi linear dari
S
:
{\displaystyle S:}
(
λ
1
v
1
+
⋯
+
λ
n
v
n
)
+
(
μ
1
v
1
+
⋯
+
μ
n
v
n
)
=
(
λ
1
+
μ
1
)
v
1
+
⋯
+
(
λ
n
+
μ
n
)
v
n
,
{\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n},}
dengan semua
λ
i
,
μ
i
∈
K
{\displaystyle \lambda _{i},\mu _{i}\in K}
, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari
S
{\displaystyle S}
dengan sebarang skalar
c
∈
K
{\displaystyle c\in K}
akan menghasilkan kombinasi linear dari
S
:
{\displaystyle S:}
c
(
λ
1
v
1
+
⋯
+
λ
n
v
n
)
=
c
λ
1
v
1
+
⋯
+
c
λ
n
v
n
.
{\displaystyle c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}.}
Alhasil,
span
(
S
)
{\displaystyle {\text{span}}(S)}
adalah subruang dari
V
.
{\displaystyle V.}
Misalkan
W
{\displaystyle W}
adalah subruang
V
{\displaystyle V}
yang mengandung
S
.
{\displaystyle S.}
Perhatikan bahwa
S
⊆
span
S
,
{\displaystyle S\subseteq \operatorname {span} S,}
karena semua
v
i
{\displaystyle \mathbf {v} _{i}}
merupakan kombinasi linear dari
S
{\displaystyle S}
(secara langsung). Karena
W
{\displaystyle W}
tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear
λ
1
v
1
+
⋯
+
λ
n
v
n
{\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}
harus berada di
W
.
{\displaystyle W.}
Akibatnya,
span
(
S
)
{\displaystyle {\text{span}}(S)}
terkandung di semua subruang dari
V
{\displaystyle V}
yang mengandung
S
.
{\displaystyle S.}
Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari
S
.
{\displaystyle S.}
Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear
Sebarang himpunan
S
{\displaystyle S}
yang merentang ruang vektor
V
{\displaystyle V}
harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari
V
.
{\displaystyle V.}
Bukti. Misalkan
S
=
{
v
1
,
…
,
v
m
}
{\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}
adalah suatu himpunan merentang dan
W
=
{
w
1
,
…
,
w
n
}
{\displaystyle W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}}
adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di
V
.
{\displaystyle V.}
Kita akan menunjukkan bahwa
m
≥
n
.
{\displaystyle m\geq n.}
Karena
S
{\displaystyle S}
merentang
V
,
{\displaystyle V,}
maka
S
∪
{
w
1
}
{\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}
juga harus merentang
V
,
{\displaystyle V,}
dan
w
1
{\displaystyle \mathbf {w} _{1}}
harus merupakan hasil kombinasi linear dari
S
.
{\displaystyle S.}
Akibatnya
S
∪
{
w
1
}
{\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}
bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari
S
{\displaystyle S}
yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota
S
{\displaystyle S}
lainnya. Vektor ini tidak mungkin
w
i
{\displaystyle \mathbf {w} _{i}}
karena
W
{\displaystyle W}
bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah
{
w
1
,
v
1
,
…
,
v
i
−
1
,
v
i
+
1
,
…
,
v
m
}
,
{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\},}
yang merupakan himpunan merentang bagi
V
.
{\displaystyle V.}
Kita ulangi proses ini sebanyak
n
{\displaystyle n}
kali, yang tahap ke-
p
{\displaystyle p}
-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan
{
w
1
,
…
,
w
p
}
{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}}
dan
m
−
p
{\displaystyle m-p}
vektor dari
S
.
{\displaystyle S.}
Dapat dipastikan sampai tahap ke-
n
{\displaystyle n}
akan selalu ada suatu
v
i
{\displaystyle \mathbf {v} _{i}}
untuk dibuang dari
S
{\displaystyle S}
, akibatnya
v
i
{\displaystyle \mathbf {v} _{i}}
setidaknya sama banyaknya dengan
w
i
{\displaystyle \mathbf {w} _{i}}
; dengan kata lain,
m
≥
n
.
{\displaystyle m\geq n.}
Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap
m
<
n
.
{\displaystyle m<n.}
Saat tahap ke-
m
{\displaystyle m}
, kita memiliki himpunan
{
w
1
,
…
,
w
m
}
{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}
dan kita dapat menambahkan vektor baru
w
m
+
1
.
{\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}.}
Tapi karena
{
w
1
,
…
,
w
m
}
{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}
adalah himpunan merentang dari
V
,
{\displaystyle V,}
vektor
w
m
+
1
{\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}
adalah kombinasi linear dari
{
w
1
,
…
,
w
m
}
{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}
. Ini adalah kontradiksi, karena
W
{\displaystyle W}
bersifat bebas linear.
Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis
Misalkan
V
{\displaystyle V}
adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang
V
{\displaystyle V}
dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi
V
,
{\displaystyle V,}
dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus
V
{\displaystyle V}
berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika
V
{\displaystyle V}
berdimensi hingga.
adalah subruang dari V . {\displaystyle V.}
Karena S {\displaystyle S}
anggota dari span ( S ) , {\displaystyle {\text{span}}(S),}
bahwa span ( S ) {\displaystyle {\text{span}}(S)}
, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di V {\displaystyle V}
Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari S {\displaystyle S}
( λ 1 v 1 + ⋯ + λ n v n ) + ( μ 1 v 1 + ⋯ + μ n v n ) = ( λ 1 + μ 1 ) v 1 + ⋯ + ( λ n + μ n ) v n , {\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n},}
dengan semua λ i , μ i ∈ K {\displaystyle \lambda _{i},\mu _{i}\in K}
, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari S {\displaystyle S}
akan menghasilkan kombinasi linear dari S : {\displaystyle S:}
Alhasil, span ( S ) {\displaystyle {\text{span}}(S)}
karena semua v i {\displaystyle \mathbf {v} _{i}}
merupakan kombinasi linear dari S {\displaystyle S}
harus berada di W . {\displaystyle W.}
Akibatnya, span ( S ) {\displaystyle {\text{span}}(S)}
adalah suatu himpunan merentang dan W = { w 1 , … , w n } {\displaystyle W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}}
adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di V . {\displaystyle V.}
juga harus merentang V , {\displaystyle V,}
harus merupakan hasil kombinasi linear dari S . {\displaystyle S.}
karena W {\displaystyle W}
yang merupakan himpunan merentang bagi V . {\displaystyle V.}
-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan { w 1 , … , w p } {\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}}
dan m − p {\displaystyle m-p}
vektor dari S . {\displaystyle S.}
Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap m < n . {\displaystyle m<n.}
Saat tahap ke- m {\displaystyle m}
, kita memiliki himpunan { w 1 , … , w m } {\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}
dan kita dapat menambahkan vektor baru w m + 1 . {\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}.}
Tapi karena { w 1 , … , w m } {\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}
adalah kombinasi linear dari { w 1 , … , w m } {\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}
