Kombinasi linear

Artikel ini membutuhkan lebih banyak pranala ke artikel lain untuk meningkatkan kualitasnya. Silakan mengembangkan artikel ini dengan menambahkan pranala yang relevan ke konteks pada teks yang sudah ada. (November 2025) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Misalkan V {\displaystyle V} adalah ruang vektor atas bidang F {\displaystyle F} dan v → 1 , v → 2 {\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}} adalah dua vektor dalam V {\displaystyle V} . Kombinasi linear dari v → 1 {\displaystyle {\vec {v}}_{1}} dan v → 2 {\displaystyle {\vec {v}}_{2}} adalah vektor-vektor yang diperoleh melalui operasi perkalian skalar dan penjumlahan terhadap kedua vektor tersebut.^[1] Pada ruang vektor V {\displaystyle V} berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Artinya vektor v → 1 {\displaystyle {\vec {v}}_{1}} dan v → 2 {\displaystyle {\vec {v}}_{2}} dapat dikalikan dengan skalar k , m ∈ F {\displaystyle k,m\in F} , sehingga terbentuk k v → 1 {\displaystyle k{\vec {v}}_{1}} dan m v → 2 {\displaystyle m{\vec {v}}_{2}} . Dengan menjumlah kedua vektor, diperoleh k v → 1 + m v → 2 {\displaystyle k{\vec {v}}_{1}+m{\vec {v}}_{2}} . Vektor inilah yang disebut sebagai kombinasi linear dari v → 1 {\displaystyle {\vec {v}}_{1}} dan v → 2 {\displaystyle {\vec {v}}_{2}} .^[2]

Definisi

Misalkan F {\displaystyle F} adalah bidang dan V {\displaystyle V} adalah ruang vektor atas lapangan F {\displaystyle F} . Anggota-anggota V {\displaystyle V} disebut vektor dan anggota-anggota F {\displaystyle F} disebut skalar. Kombinasi linear dari vektor-vektor v → 1 , v → 2 , … , v → n {\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\ldots ,{\vec {v}}_{n}} adalah vektor-vektor yang dapat ditulis sebagai

k 1 v → 1 + k 2 v → 2 + … + k n v → n {\displaystyle k_{1}{\vec {v}}_{1}+k_{2}{\vec {v}}_{2}+\ldots +k_{n}{\vec {v}}_{n}}

untuk suatu skalar k 1 , k 2 , … , k n ∈ F {\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\in F} .

Contoh

Ruang Vektor Euclidean

Himpunan R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} adalah ruang vektor atas lapangan R {\displaystyle \mathbb {R} } . Vektor ( 2 , 7 ) {\displaystyle (2,7)} merupakan kombinasi linear dari e → 1 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0)} dan e → 2 = ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{2}=(0,1)} , sebab terdapat skalar 2 , 7 ∈ R {\displaystyle 2,7\in \mathbb {R} } sehingga

( 2 , 7 ) = 2 ( 1 , 0 ) + 7 ( 0 , 1 ) = 2 e → 1 + 7 e → 2 {\displaystyle (2,7)=2(1,0)+7(0,1)=2{\vec {e}}_{1}+7{\vec {e}}_{2}}

Lebih lanjut, setiap vektor dalam R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari e 1 {\displaystyle e_{1}} dan e 2 {\displaystyle e_{2}} . Ini terjadi karena sebarang vektor ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} dapat ditulis sebagai

( x , y ) = ( x , 0 ) + ( 0 , y ) = x ( 1 , 0 ) + y ( 0 , 1 ) = x e → 1 + y e → 2 {\displaystyle {\begin{aligned}(x,y)&=(x,0)+(0,y)\\&=x(1,0)+y(0,1)\\&=x{\vec {e}}_{1}+y{\vec {e}}_{2}\end{aligned}}}

Polinomial

Himpunan P 2 {\displaystyle P_{2}} merupakan ruang vektor atas lapangan R {\displaystyle \mathbb {R} } . Himpunan ini berisi polinomial-polinomial berderajat kurang dari atau sama dengan 2, di mana koefisiennya diambil dari R {\displaystyle \mathbb {R} } . Misalkan p 1 = 1 + x 2 {\displaystyle p_{1}=1+x^{2}} dan p 2 = 2 x 2 {\displaystyle p_{2}=2x^{2}} . Apakah polinomial 1 + x {\displaystyle 1+x} merupakan kombinasi linear dari p 1 {\displaystyle p_{1}} dan p 2 {\displaystyle p_{2}} ? Untuk menjawabnya, perlu diperiksa apakah terdapat skalar k 1 , k 2 ∈ R {\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {R} } yang memenuhi persamaan

1 + x = k 1 ( 1 + x 2 ) + k 2 ( 2 x 2 ) {\displaystyle 1+x=k_{1}(1+x^{2})+k_{2}(2x^{2})}

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai

1 + 1 x + 0 x 2 = k 1 + 0 x + ( k 1 + 2 k 2 ) x 2 {\displaystyle 1+1x+0x^{2}=k_{1}+0x+(k_{1}+2k_{2})x^{2}}

Dua polinomial bernilai sama jika dan hanya jika koefisien suku-suku yang bersesuaian bernilai sama. Perhatikan bahwa koefisien suku yang memuat x {\displaystyle x} pada ruas kiri adalah 1, sedangkan koefisien pada ruas kanan adalah 0. Akibatnya, kedua polinomial tidak mungkin bernilai sama. Artinya, tidak ada skalar k 1 , k 2 ∈ R {\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {R} } yang memenuhi persamaan

1 + x = k 1 ( 1 + x 2 ) + k 2 ( 2 x 2 ) {\displaystyle 1+x=k_{1}(1+x^{2})+k_{2}(2x^{2})}

Dengan demikian, 1 + x {\displaystyle 1+x} bukan kombinasi linear dari p 1 {\displaystyle p_{1}} dan p 2 {\displaystyle p_{2}} .

Referensi

1. ↑ Strang, Gilbert (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed). Wellesley - Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.
2. ↑ Izzulhaq, Agung. "Kombinasi Linear: Materi dan Contoh Soal". www.kimiamath.com. Diakses tanggal 2020-03-02.

Pranala luar

• (Inggris) Kombinasi Linear di MathWorld

l b s Aljabar linear
Konsep dasar	Skalar Vektor Ruang vektor Perkalian skalar Perkalian titik Perkalian silang Proyeksi vektor Rentang linear Peta linear Proyeksi linear Kebebasan linear Kombinasi linear Basis Vektor kolom dan baris Ruang kolom dan baris Keortogonalan Kernel Nilai eigen dan vektor eigen Hasil kali luar Ruang hasil kali dalam Transpos Proses Gram–Schmidt Persamaan linear
Aljabar vektor	Hasil kali silang Hasil kali tripel Hasil kali silang tujuh dimensi
Aljabar multilinear	Aljabar geometri Aljabar eksterior Bivektor Multivektor Tensor Morfisme luar
Matriks	Blok Penguraian Dapat dibalik Minor Perkalian Rank Transformasi Aturan Cramer Eliminasi Gauss Determinan
Konstruksi aljabar	Dual Hasil kali tensor Jumlah langsung Kuosien Ruang fungsi Subruang
Numerik	Floating-point Stabilitas numerik Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) Matriks rongga Perbandingan pustaka aljabar linear Perbandingan perangkat lunak analisis numerik
Kategori Garis besar Portal matematika Wikibuku