Matriks simetrik

matriks yang sama dengan matriks transposnyaTemplat:SHORTDESC:matriks yang sama dengan matriks transposnya

Untuk matriks dengan simetri atas lapangan bilangan kompleks, lihat Matriks Hermite.

Dalam aljabar linear, matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks A {\displaystyle A} $A$ didefinisikan matriks simetrik jika A = A T {\displaystyle A=A^{\text{T}}} $A=A^{\text{T}}$ . Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik.

Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ menyatakan elemen matriks A {\displaystyle A} $A$ pada baris ke- i {\displaystyle i} $i$ dan kolom ke- j {\displaystyle j} $j$ . Matriks A {\displaystyle A} $A$ simetrik jika dan hanya jika untuk setiap i , j {\displaystyle i,\,j} $i,\,j$ berlaku a i j = a j i {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}} $a_{ij}=a_{ji}$ .

Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol.

Contoh

Berikut adalah contoh matriks simetrik ukuran 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ :

A = [ 1 7 3 7 4 5 3 5 6 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}}} $A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}}$

Sifat

Sifat dasar

Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik

Hal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian: untuk sebarang matriks A {\displaystyle A} $A$ dan B {\displaystyle B} $B$ , matriks A B {\displaystyle AB} $AB$ bersifat simetrik jika dan hanya jika A {\displaystyle A} $A$ dan B {\displaystyle B} $B$ saling komutatif, yakni, jika A B = B A {\displaystyle AB=BA} $AB=BA$ .

Untuk bilangan bulat n {\displaystyle n} $n$ , A n {\displaystyle A^{n}} $A^{n}$ matriks simetrik jika A {\displaystyle A} $A$ matriks simetrik.

Jika A − 1 {\displaystyle A^{-1}} $A^{-1}$ ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika A {\displaystyle A} $A$ simetrik.

Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring

Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal Mat n {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}} ${\mbox{Mat}}_{n}$ menyatakan ruang matriks ukuran n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ . Jika Sym n {\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}} ${\mbox{Sym}}_{n}$ adalah ruang matriks simetrik ukuran n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ dan Skew n {\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}} ${\mbox{Skew}}_{n}$ adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ , maka Mat n = Sym n + Skew n {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}} ${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}$ dan Sym n ∩ Skew n = { 0 } {\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}} ${\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}$ ; yakni,

Mat n = Sym n ⊕ Skew n , {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},} ${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},$

dengan ⊕ {\displaystyle \oplus } $\oplus$ adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal X ∈ Mat n {\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}} $X\in {\mbox{Mat}}_{n}$ . Matriks X {\displaystyle X} $X$ dapat dinyatakan sebagai

X = 1 2 ( X + X T ) + 1 2 ( X − X T ) {\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)} $X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)$ .

Perhatikan bahwa 1 2 ( X + X T ) ∈ Sym n {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}} ${\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}$ dan 1 2 ( X − X T ) ∈ Skew n {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}} ${\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}$ . Hal ini benar untuk semua matriks persegi X {\displaystyle X} $X$ dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)} ${\tfrac {1}{2}}n(n+1)$ skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama). Mirip dengan itu, matriks simetrik-miring ditentukan dari 1 2 n ( n − 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)} ${\tfrac {1}{2}}n(n-1)$ skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik

Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika X {\displaystyle X} $X$ adalah matriks simetrik, begitu pula matriks A X A T {\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }} $AXA^{\mathrm {T} }$ untuk sebarang matriks A {\displaystyle A} $A$ .

Daftar pustaka

Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (Edisi 2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Symmetric matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix
How to implement a Symmetric Matrix in C++

l b s Kelas-kelas matriks
Batasan pada elemen matriks	(0,1) Alternatif Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-simetris Panah condong Bidiagonal Biner Bisimetris Diagonal balok Blok Blok segitiga Sentrosimetri Konferensi Hadamard kompleks Kopositif Dominan diagonal Ekuivalen Permutasi generalisasi Bilangan bulat Logis Monomial Nonnegatif Dipartisi Persimetris Polinomial Positif Kuarter Tanda Signatur Hermitian-miring Simetris-miring Garis langit Z Boole Cauchy Diagonal Elementer Frobenius Hadamard Hankel Hermite Hessenberg Metzler Moore Parisi Pita Permutasi Rongga Segitiga Simetrik Sylvester Transformasi Fourier diskret Tridiagonal Toeplitz Uniter Vandermonde Walsh
Konstan	Bergeser Pertukaran Hilbert Identitas Lehmer Nol Pascal Pauli Redheffer Satu
Batasan pada nilai eigen dan vektor eigen-nya	Kompasi Konvergen Defektif Diagonalisasi Generalisasi-positif Stabilitas Hurwitz Stieltjes
Batasan pada hasil perkalian atau inversnya	Congruent Involutori Generalisasi unimodular Penimbangan Idempoten atau Proyeksi Nilpoten Normal Ortogonal Singular Terbalikkan (nonsingular) Unimodular Unipoten
Dengan aplikasi tertentu	Adjugat Tanda alternatif Augmenten Lingkaran Komutasi Kofunsi Derogasi Duplikasi Eliminasi Jarak Euklides Matriks fundamental (persamaan diferensial linear) Generator Geser Persamaan Acak Bézout Carleman Cartan Coxeter Gram Hesse Householder Imbalan Jacobi Jarak Kofaktor Seifert Simplektik Transformasi Pick Positif total Rotasi Wedderburn X–Y–Z
Digunakan dalam statistika	Centering Design Dispersion Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Bernoulli Korelasi Kovariansi Stokastik (Markov)
Digunakan dalam teori graf	Adjacency Biadjacency Degree Incidence Seidel adjacency Skew-adjacency Edmonds Laplace Tutte
Digunakan dalam sains dan teknik	Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Irregular Overlap State transition Substitution Z (chemistry) Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Densitas Gamma Gell-Mann Hamilton S
Istilah yang berhubungan	Jordan canonical form Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Quaternionic matrix Bebas linear Bentuk eselon baris Invers semu Wronskian
Daftar jenis matriks Kategori:Matriks