Matriks terbalikkan

Dalam aljabar linear, sebuah matriks persegi 𝐀 berukuran n×n terbalikkan (invertible) atau tidak singular, jika terdapat matriks persegi 𝐁 dengan ukuran yang sama dengan 𝐀, dan memenuhi hubungan:

𝐀𝐁=𝐁𝐀=𝐈n 

dengan 𝐈n melambangkan matriks identitas berukuran n×n, dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum. Jika hubungan tersebut berlaku, maka matriks 𝐁 disebut sebagai balikan atau invers (multiplikatif) dari matriks 𝐀, dan diberi lambang 𝐀−1.

Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks singular. Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran m×n dan m≠n) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks 𝐀 berukuran m×n dengan rank n (nilai n≤m), maka 𝐀 memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks 𝐁 berukuran n×m yang memenuhi hubungan 𝐁𝐀=𝐈n. Sedangkan jika rank matriks 𝐀 adalah m (nilai m≤n), maka 𝐀 memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks 𝐁 berukuran n×m yang memenuhi hubungan 𝐀𝐁=𝐈m.

Sifat

Teorema matriks terbalikkan

Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan 𝐀 adalah matriks persegi berukuran n×n, dengan entri-entri adalah elemen dari suatu lapangan K (misalnya, lapangan bilangan real ℝ). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks 𝐀 memenuhi semua pernyataan, atau matriks 𝐀 tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.^[1][2]

• Matriks 𝐀 terbalikkan. Dengan kata lain, matriks 𝐀 memiliki sebuah invers (atau tidak singular).
• Ada sebuah matriks 𝐁 berukuran n×n yang memenuhi 𝐀𝐁=𝐁𝐀=𝐈n 
• Matriks 𝐀 dapat diubah menjadi matriks identitas 𝐈n lewat serangkaian operasi baris elementer, atau lewat serangkaian operasi kolom elementer.
• Matriks 𝐀 dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) matriks-matriks elementer
• Matriks 𝐀 memiliki n posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form).
• Persamaan 𝐀𝐱=𝟎 hanya memiliki solusi trivial, yakni 𝐱=𝟎
• Persamaan 𝐀𝐱=𝐛 tepat memiliki satu solusi, untuk semua 𝐛∈Kn
• Transformasi linear 𝐱↦𝐀𝐱 adalah sebuah bijeksi dari Kn ke Kn
• Kernel dari 𝐀 trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga Ker⁡(𝐀)={𝟎}
• Determinan dari 𝐀 sama dengan 0.
• Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks 𝐀
• Rank 𝐀 penuh; dengan kata lain, Rank⁡𝐀=n
• Kolom-kolom dari 𝐀 saling bebas linear. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks 𝐀 sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.
• Span dari kolom-kolom matriks 𝐀 adalah Kn. Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom 𝐀 akan sama dengan Kn
• Ruang kolom dari matriks 𝐀 adalah Kn. Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks 𝐀
• Kolom-kolom matriks 𝐀 membentuk sebuah basis bagi Kn
• Transpos dari 𝐀, yakni matriks 𝐀T juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks 𝐀 juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.
• Matriks 𝐀 memiliki invers kiri (yakni matriks 𝐁 sehingga 𝐁𝐀=𝐈) dan invers kanan (yakni matriks 𝐂 sehingga 𝐀𝐂=𝐈). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama, 𝐁=𝐂=𝐀−1

Hubungan dengan adjugat

Adjugat dari suatu matriks 𝐀 dapat digunakan untuk mencari invers dari 𝐀, dengan menggunakan hubungan:

Jika 𝐀 memiliki invers, maka

𝐀−1=1det⁡(𝐀)adj⁡(𝐀).

Sifat-sifat lain

Selain sifat-sifat pada bagian-bagian sebelumnya, matriks 𝐀 berukuran n×n yang terbalikkan juga memiliki beberapa sifat berikut:

• (𝐀−1)−1=𝐀;
• (k𝐀)−1=k−1𝐀−1 untuk sembarang skalar k yang tidak sama dengan 0;
• (𝐀T)−1=(𝐀−1)T;
• det⁡(𝐀−1)=1det⁡(𝐀−1);
• Untuk sembarang matriks 𝐁 yang dapat dibalik dan yang berukuran sama dengan 𝐀, akan berlaku (𝐀𝐁)−1=𝐁−1𝐀−1. Hal ini dapat diperumum untuk kasus matriks-matriks 𝐀1,…,𝐀k berukuran n×n dan dapat dibalik, yang akan memiliki hubungan (𝐀1𝐀2⋯𝐀k−1𝐀k)−1=𝐀k−1𝐀k−1−1⋯𝐀2−1𝐀1−1
• Jika 𝐀 memiliki kolom-kolom yang saling ortonormal, maka (𝐀𝐱)+=𝐱+𝐀−1; dengan + menyatakan invers Moore–Penrose dan 𝐱 adalah vektor;

Referensi

1. ↑ Weisstein, Eric W. "Invertible Matrix Theorem". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08.
2. ↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. hlm. 14. ISBN 978-0-521-38632-6..

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Inversion of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas di Google books
• The Matrix Cookbook

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

• l
• b
• s