Matriks segitiga

Dalam aljabar linear, matriks segitiga adalah salah satu bentuk khusus dari matriks persegi. Sebuah matriks persegi dikatakan matriks segitiga bawah jika semua elemen di atas diagonal utama bernilai nol. Serupa dengan itu, matriks persegi dikatakan matriks segitiga atas jika semua elemen di bawah diagonal utama bernilai nol.

Karena persamaan matriks dalam bentuk matriks segitiga lebih mudah untuk diselesaikan, matriks ini memainkan peran penting dalam analisis numerik. Dengan menggunakan algoritma dekomposisi LU, matriks terbalikkan dapat dituliskan sebagai perkalian dari sebuah matriks segitiga bawah L {\displaystyle L} dan sebuah matriks segitiga atas U {\displaystyle U} , jika dan hanya jika semua minor utamanya bernilai tidak nol.

Definisi

Matriks yang memiliki bentuk

L = [ ℓ 1 , 1 0 ℓ 2 , 1 ℓ 2 , 2 ℓ 3 , 1 ℓ 3 , 2 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ℓ n , 1 ℓ n , 2 … ℓ n , n − 1 ℓ n , n ] {\displaystyle L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}}

disebut dengan matriks segitiga bawah, dan serupa dengan itu, matriks yang memiliki bentuk

U = [ u 1 , 1 u 1 , 2 u 1 , 3 … u 1 , n u 2 , 2 u 2 , 3 … u 2 , n ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ u n − 1 , n 0 u n , n ] {\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}

Disebut dengan matriks segitiga atas. Matriks segitiga bawah umumnya dinyatakan oleh variabel L {\displaystyle L} (dari bahasa Inggris Lower), dan matriks segitiga atas umumnya dinyatakan oleh variabel U {\displaystyle U} (dari bahasa Inggris Upper). Matriks yang merupakan matriks segitiga bawah sekaligus matriks segitiga atas adalah matriks diagonal. Matriks yang serupa dengan matriks segitiga dikatakan dapat disegitigakan.^{[butuh rujukan]}

Matriks non-persegi dengan semua elemen di atas (atau di bawah) diagonal utama bernilai nol disebut dengan matriks trapesium bawah (atau atas). Elemen-elemen tidak nol dari matriks ini menyerupai bentuk trapesium.

Contoh

Matriks-matriks berikut termasuk matriks segitiga atas

[ 1 4 1 0 6 4 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&4\\0&0&1\\\end{bmatrix}}} , [ 0 1 2 0 0 3 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}} , [ 0 4 0 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&4&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}

dan matriks-matriks berikut termasuk matriks segitiga bawah

[ 1 0 0 2 8 0 4 9 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\\\end{bmatrix}}} , [ 0 0 0 2 0 0 4 9 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0\\2&0&0\\4&9&7\\\end{bmatrix}}} , [ 1 0 0 2 0 0 1 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&0&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}}

Sifat

Transpos dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah, dan juga sebaliknya.

Sebuah matriks segitiga yang juga merupakan matriks simetrik adalah matriks diagonal. Serupa dengan itu, matriks segitiga yang juga merupakan matriks normal (artinya A ∗ A = A A ∗ {\displaystyle A^{*}A=AA^{*}} , dengan A ∗ {\displaystyle A^{*}} adalah transpos sekawan) adalah matriks diagonal. Hal ini dapat terlihat dari nilai-nilai pada diagonal utama A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} dan A A ∗ {\displaystyle AA^{*}} .

Determinan dan permanen dari matriks segitiga adalah hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. Lebih lanjut, nilai-nilai eigen dari matriks segitiga adalah elemen-elemen diagonal utamanya.

Subtitusi maju dan subtitusi mundur

Persamaan matriks dalam bentuk L x = b {\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} } atau U x = b {\displaystyle U\mathbf {x} =\mathbf {b} } sangat mudah untuk diselesaikan dengan menggunakan proses subtitusi maju untuk matriks segitiga bawah, dan secara analog, subtitusi mundur untuk matriks segitiga atas. Proses ini dinamai demikian karena untuk matriks segitiga bawah, kita perlu menghitung nilai x 1 {\displaystyle x_{1}} , lalu mensubtitusinya ke persamaan selanjutnya untuk menghitung x 2 {\displaystyle x_{2}} , dan mengulanginya sampai ke x n {\displaystyle x_{n}} . Pada matriks segitiga atas, kita perlu bekerja mundur, dengan menghitung x n {\displaystyle x_{n}} , lalu mensubtitusinya ke persamaan sebelumnya untuk menghitung x n − 1 {\displaystyle x_{n-1}} , dan mengulanginya sampai ke x 1 {\displaystyle x_{1}} .

Perhatikan bahwa proses tersebut tidak memerlukan proses mencari invers dari matriks.

Subtitusi maju

Persamaan matriks L x = b {\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} } dapat dituliskan sebagai sistem persamaan linear

ℓ 1 , 1 x 1 = b 1 ℓ 2 , 1 x 1 + ℓ 2 , 2 x 2 = b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ℓ m , 1 x 1 + ℓ m , 2 x 2 + ⋯ + ℓ m , m x m = b m {\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}

Perhatikan bahwa persamaan pertama, yakni ℓ 1 , 1 x 1 = b 1 {\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}} , hanya mengandung suku x 1 {\displaystyle x_{1}} , dan dapat diselesaikan secara langsung. Persamaan kedua hanya mengandung x 1 {\displaystyle x_{1}} dan x 2 {\displaystyle x_{2}} , sehingga dapat diselesaikan dengan mensubtitusi nilai x 1 {\displaystyle x_{1}} yang didapatkan sebelumnya. Melanjutkan proses dalam cara ini, persamaan ke- k {\displaystyle k} hanya mengandung suku x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} , dan nilai x k {\displaystyle x_{k}} dapat ditentukan dengan menggunakan nilai x 1 , … , x k − 1 {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}} yang telah didapatkan sebelumya. Dengan demikian, didapatkan rumusan:

x 1 = b 1 ℓ 1 , 1 , x 2 = b 2 − ℓ 2 , 1 x 1 ℓ 2 , 2 ,     ⋮ x m = b m − ∑ i = 1 m − 1 ℓ m , i x i ℓ m , m . {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}

Persamaan matriks yang melibatkan matriks segitiga atas U {\displaystyle U} dapat diselesaikan dengan cara yang analog, namun bekerja mundur dari x m {\displaystyle x_{m}} .

Referensi