Matriks dasar

Dalam matematika, matriks dasar atau matriks elementer adalah matriks identitas yang mengalami satu operasi baris elementer. Operasi baris elementer dapat berupa pertukaran dua baris, perkalian suatu baris dengan skalar, dan penambahan suatu baris dengan kelipatan suatu baris yang lain. Matriks elementer menghasilkan grup linear umum GL_n(F) dengan F adalah lapangan. Perkalian kiri (pra-perkalian) suatu matriks dengan matriks dasar mewakili operasi baris dasar, sedangkan perkalian kanan (pasca-perkalian) mewakili operasi kolom dasar.

Operasi baris elementer digunakan dalam eliminasi Gauss untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk eselon reduksi. Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan operasi ini untuk menyederhanakan matriks lebih lanjut menjadi bentuk eselon baris tereduksi.

Operasi baris elementer

Ada tiga jenis operasi baris elementer yang dapat dilakukan pada suatu matriks. Operasi-operasi yang serupa, tetapi dilakukan pada kolom-kolom matriks disebut dengan operasi kolom elementer. Misalkan R i {\displaystyle R_{i}} $R_{i}$ menyatakan baris ke- i {\displaystyle i} $i$ dari suatu matriks, jenis operasi-operasi baris tersebut adalah:

Pertukaran baris: Suatu baris pada matriks dapat ditukar dengan baris lain.; R i ↔ R j {\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}} $R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

Perkalian baris: Setiap elemen pada suatu baris dapat dikalikan dengan konstanta bukan nol. Operasi ini juga dikenal sebagai penskalaan suatu baris.; k R i → R i , dengan k ≠ 0 {\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{dengan }}k\neq 0} $kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{dengan }}k\neq 0$

Penambahan baris: Suatu baris dapat diganti menjadi penjumlahan baris itu dengan suatu kelipatan dari baris lain.; R i + k R j → R i , dengan i ≠ j {\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{dengan }}i\neq j} $R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{dengan }}i\neq j$

Matriks elementer

Ada tiga jenis matriks elementer, masing-masing dihasilkan dengan melakukan satu operasi baris elementer—atau secara ekuivalen, satu operasi kolom elementer—pada matriks identitas. Jika E {\displaystyle \mathbf {E} } $\mathbf {E}$ adalah matriks elementer akibat suatu jenis operasi baris elementer, menerapkan operasi baris elementer yang sama ke matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ akan menghasilkan yang sama dengan mengalikan A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ dengan matriks elementer di sebelah kiri; dengan kata lain, E A {\displaystyle \mathbf {EA} } $\mathbf {EA}$ .

Transformasi pertukaran baris

Lihat pula: Matriks permutasi

Jenis pertama operasi baris pada suatu matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ adalah menukar baris ke- i {\displaystyle i} $i$ dengan baris ke- j {\displaystyle j} $j$ . Matriks elementer T i , j {\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}} $\mathbf {T} _{i,j}$ yang bersesuaian dengan operasi ini adalah matriks yang dihasilkan dengan menukar baris ke- i {\displaystyle i} $i$ dengan baris ke- j {\displaystyle j} $j$ matriks identitas:

T i , j = [ 1 ⋱ 0 1 ⋱ 1 0 ⋱ 1 ] {\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}} $\mathbf {T} _{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Jadi, matriks T i , j A {\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}\mathbf {A} } $\mathbf {T} _{i,j}\mathbf {A}$ adalah matriks yang dihasilkan dari menukar baris ke- i {\displaystyle i} $i$ dengan baris ke- j {\displaystyle j} $j$ matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ .

Ada beberapa sifat dari matriks elementer jenis ini. Pertama, invers dari matriks ini adalah dirinya sendiri; dengan kata lain, T i , j − 1 = T i , j {\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}^{-1}=\mathbf {T} _{i,j}} $\mathbf {T} _{i,j}^{-1}=\mathbf {T} _{i,j}$ . Karena determinan matriks identitas sama dengan 1, dapat ditunjukkan bahwa det ( T i , j ) = − 1 {\displaystyle \det(\mathbf {T} _{i,j})=-1} $\det(\mathbf {T} _{i,j})=-1$ . Hal ini mengartikan untuk sembarang matriks persegi A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ , berlaku hubungan det ( T i , j A ) = − det ( A ) {\displaystyle \det(\mathbf {T} _{i,j}\mathbf {A} )=-\det(\mathbf {A} )} $\det(\mathbf {T} _{i,j}\mathbf {A} )=-\det(\mathbf {A} )$

Transformasi perkalian baris

Tipe operasi baris selanjutnya adalah mengalikan setiap elemen baris ke- i {\displaystyle i} $i$ matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ dengan skalar m {\displaystyle m} $m$ yang tidak bernilai nol (umumnya berupa bilangan real). Matriks elementer yang bersesuaian adalah matriks identitas, tapi elemen diagonal ke- i {\displaystyle i} $i$ -nya bernilai m {\displaystyle m} $m$ :

D i ( m ) = [ 1 ⋱ 1 m 1 ⋱ 1 ] {\displaystyle \mathbf {D} _{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}} $\mathbf {D} _{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Jadi, matriks D i ( m ) A {\displaystyle \mathbf {D} _{i}(m)\mathbf {A} } $\mathbf {D} _{i}(m)\mathbf {A}$ adalah matriks yang dihasilkan dari mengalikan baris ke- i {\displaystyle i} $i$ matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ dengan m {\displaystyle m} $m$ .

Ada beberapa sifat matriks elementer jenis ini. Pertama, invers matriks ini juga merupakan matriks diagonal, dengan D i ( m ) − 1 = D i ( 1 m ) {\displaystyle \mathbf {D} _{i}(m)^{-1}=\mathbf {D} _{i}({\tfrac {1}{m}})} $\mathbf {D} _{i}(m)^{-1}=\mathbf {D} _{i}({\tfrac {1}{m}})$ . Lebih lanjut, determinan dari matriks elementer ini sama dengan m {\displaystyle m} $m$ . Akibatnya, untuk sembarang matriks persegi A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ berlaku hubungan det ( D i ( m ) A ) = m det ( A ) {\displaystyle \det(\mathbf {D} _{i}(m)\mathbf {A} )=m\det(\mathbf {A} )} $\det(\mathbf {D} _{i}(m)\mathbf {A} )=m\det(\mathbf {A} )$ .

Transformasi penambahan baris

Tipe terakhir operasi baris pada matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ adalah menambahkan baris ke- j {\displaystyle j} $j$ yang dikalikan dengan suatu skalar m {\displaystyle m} $m$ ke baris ke- i {\displaystyle i} $i$ . Matriks elementer yang bersesuaian dengan operasi baris ini adalah matriks identitas, tapi elemen ke- ( i , j ) {\displaystyle (i,\,j)} $(i,\,j)$ bernilai m {\displaystyle m} $m$ :

L i , j ( m ) = [ 1 ⋱ 1 ⋱ m 1 ⋱ 1 ] {\displaystyle \mathbf {L} _{i,j}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}} $\mathbf {L} _{i,j}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Jadi, L i , j ( m ) A {\displaystyle \mathbf {L} _{i,j}(m)\mathbf {A} } $\mathbf {L} _{i,j}(m)\mathbf {A}$ adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan m {\displaystyle m} $m$ kali baris ke- j {\displaystyle j} $j$ ke baris ke- i {\displaystyle i} $i$ matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ . Sedangkan A L i , j ( m ) {\displaystyle \mathbf {AL} _{i,j}(m)} $\mathbf {AL} _{i,j}(m)$ adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan m {\displaystyle m} $m$ kali kolom ke- i {\displaystyle i} $i$ ke kolom ke- j {\displaystyle j} $j$ matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ .

Matriks elementer ini memiliki beberapa sifat. Pertama, invers matriks ini juga berbentuk matriks segitiga, dengan L i , j ( m ) − 1 = L i , j ( − m ) {\displaystyle \mathbf {L} _{i,j}(m)^{-1}=\mathbf {L} _{i,j}(-m)} $\mathbf {L} _{i,j}(m)^{-1}=\mathbf {L} _{i,j}(-m)$ . Determinan matriks elementer ini bernilai 1, yang mengartikan det ( L i , j ( m ) A ) = det ( A ) {\displaystyle \det(\mathbf {L} _{i,j}(m)\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )} $\det(\mathbf {L} _{i,j}(m)\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )$ untuk sembarang matriks persegi A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ .

Referensi

Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (Edisi 2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Lay, David C. (Agustus 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (Edisi 3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Meyer, Carl D. (Februari 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari asli tanggal 2009-10-31{{citation}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)

Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (Edisi 2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (Edisi 9th), Wiley International
Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (Edisi 7th), Pearson Prentice Hall
Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (Edisi 5th), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6

l b s Kelas-kelas matriks
Batasan pada elemen matriks	(0,1) Alternatif Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-simetris Panah condong Bidiagonal Biner Bisimetris Diagonal balok Blok Blok segitiga Sentrosimetri Konferensi Hadamard kompleks Kopositif Dominan diagonal Ekuivalen Permutasi generalisasi Bilangan bulat Logis Monomial Nonnegatif Dipartisi Persimetris Polinomial Positif Kuarter Tanda Signatur Hermitian-miring Simetris-miring Garis langit Z Boole Cauchy Diagonal Elementer Frobenius Hadamard Hankel Hermite Hessenberg Metzler Moore Parisi Pita Permutasi Rongga Segitiga Simetrik Sylvester Transformasi Fourier diskret Tridiagonal Toeplitz Uniter Vandermonde Walsh
Konstan	Bergeser Pertukaran Hilbert Identitas Lehmer Nol Pascal Pauli Redheffer Satu
Batasan pada nilai eigen dan vektor eigen-nya	Kompasi Konvergen Defektif Diagonalisasi Generalisasi-positif Stabilitas Hurwitz Stieltjes
Batasan pada hasil perkalian atau inversnya	Congruent Involutori Generalisasi unimodular Penimbangan Idempoten atau Proyeksi Nilpoten Normal Ortogonal Singular Terbalikkan (nonsingular) Unimodular Unipoten
Dengan aplikasi tertentu	Adjugat Tanda alternatif Augmenten Lingkaran Komutasi Kofunsi Derogasi Duplikasi Eliminasi Jarak Euklides Matriks fundamental (persamaan diferensial linear) Generator Geser Persamaan Acak Bézout Carleman Cartan Coxeter Gram Hesse Householder Imbalan Jacobi Jarak Kofaktor Seifert Simplektik Transformasi Pick Positif total Rotasi Wedderburn X–Y–Z
Digunakan dalam statistika	Centering Design Dispersion Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Bernoulli Korelasi Kovariansi Stokastik (Markov)
Digunakan dalam teori graf	Adjacency Biadjacency Degree Incidence Seidel adjacency Skew-adjacency Edmonds Laplace Tutte
Digunakan dalam sains dan teknik	Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Irregular Overlap State transition Substitution Z (chemistry) Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Densitas Gamma Gell-Mann Hamilton S
Istilah yang berhubungan	Jordan canonical form Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Quaternionic matrix Bebas linear Bentuk eselon baris Invers semu Wronskian
Daftar jenis matriks Kategori:Matriks