Variabel acak

Teori peluang
Bagian dari seri tentang statistika

Peluang Aksioma Determinisme Sistem Indeterminisme Keacakan
Ruang peluang Ruang sampel Kejadian Collectively exhaustive events Kejadian sederhana Kejadian saling lepas Kemunculan Singleton Percobaan Percobaan Bernoulli Distribusi peluang Distribusi Bernoulli Distribusi binomial Distribusi eksponensial Distribusi normal Distribusi Pareto Distribusi Poisson Ukuran peluang Variabel acak Proses Bernoulli Kontinu atau diskrit Nilai harapan Varians Rantai Markov Langkah acak Proses stokastik
Kejadian komplemen Peluang bersama Peluang marginal Peluang bersyarat
Kebebasan Kebebasan bersyarat Hukum peluang total Hukum bilangan besar Teorema Bayes Pertidaksamaan Boole
Diagram Venn Diagram pohon
l b s

Dalam matematika, variabel acak atau peubah stokastik (bahasa Inggris:random variable) adalah istilah untuk menyebut besaran atau objek yang bergantung pada kejadian acak.^[1]

Secara informal, keacakan umumnya menyatakan suatu aspek kebolehjadian (peluang), seperti ketika melantunkan sebuah dadu, atau menyatakan aspek ketidakpastian, seperti kesalahan pengukuran.^[1] Akan tetapi, interpretasi dari peluang rumit secara filsafat, dan bahkan untuk kasus yang spesifik masih dapat berbelit-belit. Analisis mengenai variabel acak secara matematika tidak bergantung pada interpretasi filsafat (sehingga tidak memiliki kesulitan-kesulitan yang dihadapi ilmu filsafat), dan dapat didasarkan pada kerangka aksioma yang tegas (rigor).

Dalam bahasa matematika formal tentang teori ukuran, variabel acak didefinisikan sebagai fungsi terukur dari sebuah ruang ukuran peluang (disebut dengan ruang sampel) ke suatu ruang terukur. Definisi ini memungkinkan analisis tentang ukuran pushforward, yang disebut distribusi dari variabel acak; akibatnya distribusi dapat diartikan sebagai ukuran peluang pada himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel acak. Dua variabel acak dapat memiliki distribusi yang identik tetapi juga berbeda secara signifikan; contohnya ketika keduanya saling bebas.

Pembahasan mengenai variabel acak umumnya berisi tentang analisis untuk variabel acak diskret dan variabel acak kontinu secara absolut. Kedua analisis tersebut masing-masing bersesuaian paada kasus ketika variabel acak terletak pada himpunan yang diskret (seperti sebuah himpunan hingga) atau terletak pada interval bilangan real. Ada jenis-jenis variabel acak lain yang penting, khususnya dalam teori proses stokastik, yang didalamnya mempelajari barisan-barisan acak dan fungsi-fungsi acak. Terkadang istilah variabel acak digunakan untuk merujuk pada besaran acak yang berupa bilangan real, sedangkan besaran-besaran yang lebih umum disebut dengan elemen acak.

Definisi

Variabel acak adalah sebuah fungsi dari semua himpunan hasil yang mungkin (semesta Ω ) ke ruang terukur E. Setiap elemen terukur B di E, akan berasosiasi dengan citra inversnya di Ω. Perhitungan peluang P X {\displaystyle \mathbb {P} _{X}} $\mathbb {P} _{X}$ atas E selanjutnya ditentukan dari ukuran P {\displaystyle \mathbb {P} } $\mathbb {P}$ atas Ω.

Sebuah variabel acak X {\displaystyle X} $X$ adalah sebuah fungsi terukur X : Ω → E {\displaystyle X\colon \Omega \to E} $X\colon \Omega \to E$ dari sebuah himpunan hasil yang mungkin Ω {\displaystyle \Omega } $\Omega$ ke sebuah ruang terukur E {\displaystyle E} $E$ . Definisi aksiomatik yang teknis mengharuskan Ω {\displaystyle \Omega } $\Omega$ sebagai sebuah ruang sampel dari tripel peluang ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )} $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ . Variabel acak umum dinyatakan dengan huruf Latin kapital, seperti X {\displaystyle X} $X$ , Y {\displaystyle Y} $Y$ , Z {\displaystyle Z} $Z$ , T {\displaystyle T} $T$ .^[2]

Peluang X {\displaystyle X} $X$ menghasilkan suatu nilai pada suatu himpunan terukur B ⊆ E {\displaystyle B\subseteq E} $B\subseteq E$ ditulis sebagai

P X ⁡ ( B ) = P ⁡ ( X − 1 ( B ) ) = P ⁡ ( { ω ∈ Ω ∣ X ( ω ) ∈ B } ) {\displaystyle \operatorname {P} _{X}(B)=\operatorname {P} {\Big (}X^{-1}(B){\Big )}=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in B\})} $\operatorname {P} _{X}(B)=\operatorname {P} {\Big (}X^{-1}(B){\Big )}=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in B\})$

Kasus yang umum

Pada banyak kasus, variabel acak X {\displaystyle X} $X$ bernilai real; sebagai contoh, E = R {\displaystyle E=\mathbb {R} } $E=\mathbb {R}$ . Dalam beberapa konteks, istilah elemen acak digunakan untuk menyebut variabel acak yang bukan bernilai real.

Ketika citra (atau range) dari X {\displaystyle X} $X$ dapat dihitung, variabel acak itu disebut sebagai variabel acak diskret.^[3]^: 399 Distribusi dari variabel acak jenis ini adalah sebuah distribusi peluang diskret, yang dapat didefinisikan dengan sebuah fungsi massa peluang yang memetakan suatu peluang ke setiap nilai pada citra dari X {\displaystyle X} $X$ . Tapi jika citra X {\displaystyle X} $X$ tidak dapat dihitung (umumnya berupa selang) maka X {\displaystyle X} $X$ disebut sebagai variabel acak kontinu.^[4]^[5] Pada kasus khusus citra bersifat kontinu secara absolut, distribusinya dapat dideskripsikan dengan sebuah fungsi kepadatan peluang, yang memetakan peluang ke selang; secara khusus, setiap titik pada variabel acak kontinu secara absolut harus memiliki peluang 0. Tidak semua variabel acak kontinu bersifat kontinu secara absolut,^[6] distribusi gabungan adalah salah satu buktinya: variabel acaknya tidak dapat dideskripsikan lewat fungsi massa peluang maupun fungsi kepadatan peluang.

Setiap variabel acak dapat dideskripsikan lewat fungsi distribusi kumulatif-nya, yang menyatakan peluang variabel acaka akan bernilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai tertentu.

Perluasan

Istilah "variabel acak" dalam statistika secara tradisional dibatasi untuk kasus bernilai real ( E = R {\displaystyle E=\mathbb {R} } $E=\mathbb {R}$ ). Dalam kasus ini, struktur dari bilangan real memungkinkan untuk mendefinisikan besaran-besaran seperti nilai ekspektasi dan varians dari sebuah variabel acak, fungsi distribusi kumulatif, dan momen dari distribusinya. Namun definisi variabel acak juga dapat digunakan untuk elemen-elemen acak pada himpunan E {\displaystyle E} $E$ yang lain; seperti himpunan vektor, matriks, barisan acak, graf, lipatan, dan fungsi, yang acak.

Konsep elemen acak yang lebih umum ini lebih berguna untuk bidang ilmu seperti teori graf, pemelajaran mesin, pengolahan bahasa alami, dan bidang-bidang di matematika diskret dan ilmu komputer. Bidang-bidang tersebut lebih tertarik untuk memodelkan variasi acak dari struktur data non-numerik. Tapi pada beberapa kasus, representasi setiap elemen di of E {\displaystyle E} $E$ sebagai [beberapa] bilangan real lebih disukai. Untuk kasus-kasus ini, elemen acak dapat direpresentasikan sebagai sebuah vektor variabel acak bernilai real (yang didefinisikan pada ruang peluang Ω {\displaystyle \Omega } $\Omega$ yang sama). Sebagai contoh:

Sebuah kata acak dapat direpresentasikan sebagai sebuah bilangan acak yang menyatakan indeks kata tersebut pada suatu kamus berisi semua kata yang mungkin ada. Alternatif lain, kata acak dapat direpresentasikan sebagai sebuah vektor indikator acak ( 1 0 0 0 ⋯ ) {\displaystyle (1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )} $(1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )$ , ( 0 1 0 0 ⋯ ) {\displaystyle (0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )} $(0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )$ , ( 0 0 1 0 ⋯ ) {\displaystyle (0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )} $(0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )$ , yang panjangnya sama dengan panjang kamus dan posisi angka 1 menyatakan kata.
Sebuah graf acak pada suatu N {\displaystyle N} $N$ verteks dapat direpresentasikan sebagai sebuah matriks variabel acak berukuran N × N {\displaystyle N\times N} $N\times N$ , yang elemen-elemennya menyatakan matriks ketetanggaan dari graf acak.

Referensi

1 2 Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Introduction to Probability. CRC Press. ISBN 9781466575592.
↑ "Random Variables". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2020-08-21.
↑ Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (Edisi 2nd). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Diarsipkan dari asli tanggal 2005-02-09.
↑ "Random Variables". www.stat.yale.edu. Diakses tanggal 2020-08-21.
↑ Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). "A Modern Introduction to Probability and Statistics". Springer Texts in Statistics (dalam bahasa Inggris (Britania)). doi:10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1. ISSN 1431-875X.{{cite journal}}: Pemeliharaan CS1: terbitan berkala memiliki ISBN (link)
↑ L. Castañeda; V. Arunachalam & S. Dharmaraja (2012). Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications. Wiley. hlm. 67. ISBN 9781118344941.

Pustaka

Fristedt, Bert; Gray, Lawrence (1996). A modern approach to probability theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3807-5.
Kallenberg, Olav (1986). Random Measures (Edisi 4th). Berlin: Akademie Verlag. ISBN 0-12-394960-2. MR 0854102.
Kallenberg, Olav (2001). Foundations of Modern Probability (Edisi 2nd). Berlin: Springer Verlag. ISBN 0-387-95313-2.
Papoulis, Athanasios (1965). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (Edisi 9th). Tokyo: McGraw–Hill. ISBN 0-07-119981-0.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Random variable", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF), arXiv:1307.2968
Zukerman, Moshe (2014), Basic Probability Topics (PDF)

Statistika

Statistika Deskriptif

Continuous data

Pusat	Mean aritmatik geometric harmonic Median Mode
Dispersion	Variance Standard deviation Coefficient of variation Percentile Range Interquartile range
Shape	Central limit theorem Moments Skewness Kurtosis L-moments

Count data

Index of dispersion

Summary tables

Dependence

Graphics

Pengumpulan Data

Study design	Population Statistic Effect size Statistical power Sample size determination Missing data
Survey methodology	Sampling stratified cluster Standard error Opinion poll Questionnaire
Controlled experiments	Design control optimal Controlled trial Randomized Random assignment Replication Blocking Interaction Factorial experiment
Uncontrolled studies	Observational study Natural experiment Quasi-experiment

Statistika inferensia

Statistical theory

Frequentist inference

Point estimation	Estimating equations Maximum likelihood Method of moments M-estimator Minimum distance Unbiased estimators Mean-unbiased minimum-variance Rao–Blackwellization Lehmann–Scheffé theorem Median unbiased Plug-in
Interval estimation	Confidence interval Pivot Likelihood interval Prediction interval Tolerance interval Resampling Bootstrap Jackknife
Testing hypotheses	1- & 2-tails Power Uniformly most powerful test Permutation test Randomization test Multiple comparisons
Parametric tests	Likelihood-ratio Wald Score

Specific tests

Z-test (normal) Student's t-test F-test
Goodness of fit	Chi-squared G-test Kolmogorov–Smirnov Anderson–Darling Lilliefors Jarque–Bera Normality (Shapiro–Wilk) Likelihood-ratio test Model selection Cross validation AIC BIC
Rank statistics	Sign Sample median Signed rank (Wilcoxon) Hodges–Lehmann estimator Rank sum (Mann–Whitney) Nonparametric anova 1-way (Kruskal–Wallis) 2-way (Friedman) Ordered alternative (Jonckheere–Terpstra)

Bayesian inference

Correlation	Pearson product-moment Partial correlation Confounding variable Coefficient of determination
Regression analysis	Errors and residuals Regression model validation Mixed effects models Simultaneous equations models Multivariate adaptive regression splines (MARS)
Linear regression	Simple linear regression Ordinary least squares General linear model Bayesian regression
Non-standard predictors	Nonlinear regression Nonparametric Semiparametric Isotonic Robust Heteroscedasticity Homoscedasticity
Generalized linear model	Exponential families Logistic (Bernoulli) / Binomial / Poisson regressions
Partition of variance	Analysis of variance (ANOVA, anova) Analysis of covariance Multivariate ANOVA Degrees of freedom

Kategorik / Multivariat / Deret waktu / Analisis ketahanan

Categorical

Multivariate

Time-series

General	Decomposition Trend Stationarity Seasonal adjustment Exponential smoothing Cointegration Structural break Granger causality
Specific tests	Dickey–Fuller Johansen Q-statistic (Ljung–Box) Durbin–Watson Breusch–Godfrey
Time domain	Autocorrelation (ACF) partial (PACF) Cross-correlation (XCF) ARMA model ARIMA model (Box–Jenkins) Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) Vector autoregression (VAR)
Frequency domain	Spectral density estimation Fourier analysis Wavelet Whittle likelihood

Survival

Survival function	Kaplan–Meier estimator (product limit) Proportional hazards models Accelerated failure time (AFT) model First hitting time
Hazard function	Nelson–Aalen estimator
Test	Log-rank test

Aplikasi

Biostatistics	Bioinformatics Clinical trials / studies Epidemiology Medical statistics
Engineering statistics	Chemometrics Methods engineering Probabilistic design Process / quality control Reliability System identification
Social statistics	Actuarial science Census Crime statistics Demography Econometrics National accounts Official statistics Population statistics Psychometrics
Spatial statistics	Cartography Environmental statistics Geographic information system Geostatistics Kriging

Category
Portal
Commons
WikiProject

Basis data pengawasan otoritas
Internasional	GND
Nasional	Amerika Serikat Prancis Data BnF Israel
Lain-lain	Yale LUX

Artikel ini tidak memiliki konten kategori. Bantulah dengan menambah kategori yang sesuai sehingga artikel ini terkategori dengan artikel lain yang sejenis.