Varians

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.
Cari sumber: "Varians" – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR

Dalam teori peluang dan statistika, variansi^[1] (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam^[2] suatu peubah acak adalah ekspektasi dari selisih kuadrat peubah acak dengan reratanya. Variansi merupakan suatu ukuran penyebaran yang menunjukkan seberapa jauh sekumpulan bilangan tersebar dari nilai reratanya. Pengakaran-kuadrat variansi menghasilkan simpangan baku. Selain itu, variansi merupakan suatu penciri distribusi peluang, yaitu pembeda antara suatu distribusi peluang dengan yang lainnya.

Variansi tidak untuk disamakan dengan variansi sampel. Variansi dari peubah acak, disebut juga variansi populasi, didefinisikan oleh sebuah persamaan. Di sisi lain, variansi sampel merupakan salah satu taksiran variansi yang berdasarkan suatu sampel yang diambil dari suatu populasi. Dengan kata lain, variansi sampel digunakan ketika populasi tidak dapat diamati seluruhnya sehingga variansi populasi harus ditaksir dari sampel yang tersedia.

Istilah varians pertama kali diperkenalkan oleh Ronald Fisher dalam makalahnya pada tahun 1918 yang berjudul The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance ("Korelasi di Antara Kerabat dalam Kerangka Pewarisan Mendel").

Definisi

Misalkan X {\displaystyle X} $X$ adalah suatu peubah acak dengan rerata μ = E ⁡ [ X ] {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]} $\mu =\operatorname {E} [X]$ hingga dan bernilai E [ ( X − μ ) 2 ] {\displaystyle E[(X-\mu )^{2}]} $E[(X-\mu )^{2}]$ hingga. Variansi dari X {\displaystyle X} $X$ didefinisikan sebagai E ⁡ [ ( X − μ ) 2 ] {\displaystyle \operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]} $\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]$ .^[3] Variansi dari X {\displaystyle X} $X$ biasanya dinotasikan Var ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} $\operatorname {Var} (X)$ atau σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} $\sigma ^{2}$ .

Jika X {\displaystyle X} $X$ merupakan peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X ( x ) {\displaystyle p_{X}(x)} $p_{X}(x)$ untuk x ∈ D {\displaystyle x\in {\mathcal {D}}} $x\in {\mathcal {D}}$ , variansinya adalah Var ⁡ ( X ) = ∑ ∀ x ∈ D ( x − μ ) 2 p X ( x ) , {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{\forall x\in {\mathcal {D}}}(x-\mu )^{2}p_{X}(x),} $\operatorname {Var} (X)=\sum _{\forall x\in {\mathcal {D}}}(x-\mu )^{2}p_{X}(x),$ dengan μ = E ⁡ [ X ] {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]} $\mu =\operatorname {E} [X]$ rerata dari X {\displaystyle X} $X$ , yaitu μ = ∑ ∀ x ∈ D x p X ( x ) {\textstyle \mu =\sum _{\forall x\in {\mathcal {D}}}xp_{X}(x)} ${\textstyle \mu =\sum _{\forall x\in {\mathcal {D}}}xp_{X}(x)}$ . Di sisi lain, jika X {\displaystyle X} $X$ merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} $f_{X}(x)$ untuk x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } $x\in \mathbb {R}$ , variansinya adalah Var ⁡ ( X ) = ∫ − ∞ ∞ ( x − μ ) 2 f X ( x ) d x , {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f_{X}(x)\,dx,} $\operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f_{X}(x)\,dx,$ dengan μ = E ⁡ [ X ] {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]} $\mu =\operatorname {E} [X]$ rerata dari X {\displaystyle X} $X$ , yaitu μ = ∫ − ∞ ∞ x f X ( x ) d x {\displaystyle \mu =\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)\,dx} $\mu =\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)\,dx$ .

Cara perhitungan variansi yang lain adalah dengan memanfaatkan sifat linier dari operator ekspektasi E {\displaystyle \operatorname {E} } $\operatorname {E}$ :

Var ⁡ ( X ) = E ⁡ [ ( X − μ ) 2 ] = E ⁡ [ X 2 − 2 μ X + μ 2 ] = E ⁡ [ X 2 ] − 2 μ 2 + μ 2 = E ⁡ [ X 2 ] − μ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2\mu X+\mu ^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\mu ^{2}\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2\mu X+\mu ^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\mu ^{2}\end{aligned}}$

Dalam kata lain, variansi dari peubah acak X {\displaystyle X} $X$ adalah selisih dari ekspektasi dari X 2 {\displaystyle X^{2}} $X^{2}$ dengan rerata kuadrat.

Contoh

Dadu seimbang

Misalkan pelemparan dadu seimbang bermuka n {\displaystyle n} $n$ dimodelkan oleh suatu peubah acak diskret X {\displaystyle X} $X$ . Percobaan ini termasuk ke dalam kasus berpeluang sama sehingga peubah acaknya berdistribusi seragam diskret dengan fungsi peluang p X ( x ) = 1 n , x ∈ { 1 , … , n } . {\displaystyle p_{X}(x)={\frac {1}{n}},\quad x\in \{1,\dots ,n\}.} $p_{X}(x)={\frac {1}{n}},\quad x\in \{1,\dots ,n\}.$ dan 0 {\displaystyle 0} $0$ untuk x {\displaystyle x} $x$ lainnya. Rerata dari X {\displaystyle X} $X$ adalah 1 n ( ∑ x = 1 n x ) {\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{x=1}^{n}x\right)} ${\frac {1}{n}}\left(\sum _{x=1}^{n}x\right)$ sehingga variansinya adalah Var ⁡ ( X ) = ∑ x = 1 n ( x − μ ) 2 p X ( x ) = ∑ x = 1 n x 2 p X ( x ) − μ 2 = 1 n ∑ x = 1 n x 2 − ( 1 n ∑ x = 1 n x ) 2 = 1 16 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) − 1 14 ( n + 1 ) 2 = n 2 − 1 12 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{x=1}^{n}(x-\mu )^{2}p_{X}(x)\\&=\sum _{x=1}^{n}x^{2}p_{X}(x)-\mu ^{2}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{x=1}^{n}x^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{x=1}^{n}x\right)^{2}\\&={\frac {1}{16}}(n+1)(2n+1)-{\frac {1}{14}}(n+1)^{2}\\&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{x=1}^{n}(x-\mu )^{2}p_{X}(x)\\&=\sum _{x=1}^{n}x^{2}p_{X}(x)-\mu ^{2}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{x=1}^{n}x^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{x=1}^{n}x\right)^{2}\\&={\frac {1}{16}}(n+1)(2n+1)-{\frac {1}{14}}(n+1)^{2}\\&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}$ Jika dadu seimbang yang dipertimbangkan bermuka n = 6 {\displaystyle n=6} $n=6$ , variansi percobaannya adalah Var ⁡ ( X ) ≈ 2 , 92 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)\approx 2,92} $\operatorname {Var} (X)\approx 2,92$ .

Distribusi eksponensial

Misalkan peubah acak X {\displaystyle X} $X$ memiliki distribusi eksponensial dengan parameter laju λ {\displaystyle \lambda } $\lambda$ . Fungsi kepadatan peluang dari X {\displaystyle X} $X$ adalah

f ( x ) = { λ e − λ x , x ∈ [ 0 , ∞ ) 0 , x ∈ ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},\quad &x\in [0,\infty )\\0,\quad &x\in (-\infty ,0)\end{cases}}} $f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},\quad &x\in [0,\infty )\\0,\quad &x\in (-\infty ,0)\end{cases}}$

dan reratanya adalah μ = 1 λ {\textstyle \mu ={\frac {1}{\lambda }}} ${\textstyle \mu ={\frac {1}{\lambda }}}$ . Dengan integrasi parsial, dapat diperoleh rerata dari X 2 {\displaystyle X^{2}} $X^{2}$ , yaitu

E ⁡ [ X 2 ] = ∫ 0 ∞ x 2 λ e − λ x d x = [ − x 2 e − λ x ] 0 ∞ + ∫ 0 ∞ 2 x e − λ x d x = 0 + 2 λ − 2 E ⁡ [ X ] = 2 λ − 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&=\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+2\lambda ^{-2}\operatorname {E} [X]\\&=2\lambda ^{-2}\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&=\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+2\lambda ^{-2}\operatorname {E} [X]\\&=2\lambda ^{-2}\end{aligned}}$

Dengan definisi, diperoleh variansi X {\displaystyle X} $X$ , yaitu

Var ⁡ ( X ) = ∫ 0 ∞ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x = E ⁡ [ X 2 ] − μ 2 = 2 λ − 2 − λ − 2 = λ − 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\int _{0}^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\mu ^{2}\\&=2\lambda ^{-2}-\lambda ^{-2}\\&=\lambda ^{-2}.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\int _{0}^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\mu ^{2}\\&=2\lambda ^{-2}-\lambda ^{-2}\\&=\lambda ^{-2}.\end{aligned}}$

Referensi

↑ KBBI. "Variansi". KBBI. Diakses tanggal 2025-08-20.
↑ Barizi; Hasibuan, K. M.; Sumantri, Bambang; Santoso, Oerip; Kandahjaya, Hudaya (1984). Kamus Istilah Statistik. Jakarta: Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)
↑ Hogg, Robert V.; McKean, Joseph W.; Craig, Allen T. (2013). Introduction to Mathematical Statistics Seventh Edition. Pearson. ISBN 978-0-321-79543-4.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)