Distribusi normal

Distribusi Normal
Garis merah menunjukkan distribusi normal baku
Fungsi distribusi kumulatif Warna garis sesuai gambar sebelumnya
Notasi	N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})} ${\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})$
Parameter	μ ∈ R — rata-rata (lokasi) σ² > 0 — ragam (skala kuadrat)
Dukungan	x ∈ R
Unknown type	1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
CDF	1 2 [ 1 + erf ⁡ ( x − μ 2 σ 2 ) ] {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\Big [}1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}{\Big )}{\Big ]}} ${\frac {1}{2}}{\Big [}1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}{\Big )}{\Big ]}$
Mean	μ
Median	μ
Modus	μ
Unknown type	σ²
Skewness	0
Ex. kurtosis	0
Entropi	1 2 ln ⁡ ( 2 π e σ 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi e\,\sigma ^{2})} ${\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi e\,\sigma ^{2})$
MGF	exp ⁡ { μ t + 1 2 σ 2 t 2 } {\displaystyle \exp\{\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}} $\exp\{\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}$
CF	exp ⁡ { i μ t − 1 2 σ 2 t 2 } {\displaystyle \exp\{i\mu t-{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}} $\exp\{i\mu t-{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}$
Informasi Fisher	( 1 / σ 2 0 0 1 / ( 2 σ 4 ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}} ${\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}$

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

Definisi

Persamaan distribusi normal bergantung pada dua parameter μ {\displaystyle \mu } $\mu$ dan σ {\displaystyle \sigma } $\sigma$ , di mana μ {\displaystyle \mu } $\mu$ adalah rataan dan σ {\displaystyle \sigma } $\sigma$ adalah simpangan baku. Fungsi kepekatan probabilitas distribusi normal dinyatakan sebagai berikut:^[1] n ( x ; μ , σ ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle n(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} $n(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

dengan π = 3 , 14159... {\textstyle \pi =3,14159...} ${\textstyle \pi =3,14159...}$ dan e = 2 , 17828 {\displaystyle e=2,17828} $e=2,17828$ (bilangan Euler).

Distribusi normal dengan rataan μ = 0 {\displaystyle \mu =0} $\mu =0$ dan variansi σ 2 = 1 {\displaystyle \sigma ^{2}=1} $\sigma ^{2}=1$ (atau, simpangan baku σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} $\sigma =1$ ) disebut sebagai distribusi normal baku. Fungsi kepekatan distribusi normal baku dinyatakan sebagai: n ( x ; 0 , 1 ) = 1 2 π e − x 2 2 {\displaystyle n(x;0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}} $n(x;0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

Sifat-sifat kurva normal

Suatu kurva distribusi normal (kurva normal) memiliki sifat-sifat sebagai berikut:^[2]

modus, titik yang memberikan nilai maksimum pada kurva, terdapat pada x = μ {\textstyle x=\mu } ${\textstyle x=\mu }$
kurva setangkup (simetris) terhadap sumbu tegak yang melewati titik x = μ {\displaystyle x=\mu } $x=\mu$
kurva memiliki titik belok pada x = μ ± σ {\displaystyle x=\mu \pm \sigma } $x=\mu \pm \sigma$ . Kurva cekung dari bawah pada selang μ − σ < X < μ + σ {\displaystyle \mu -\sigma <X<\mu +\sigma } $\mu -\sigma <X<\mu +\sigma$ , cekung dari atas untuk nilai x {\displaystyle x} $x$ lainnya
kedua ujung kurva mendekati asimtot sumbu datar ketika x {\displaystyle x} $x$ menjauhi μ {\displaystyle \mu } $\mu$ baik ke arah kiri maupun kanan
seluruh luas di bawah kurva dan di atas sumbu datar sama dengan 1

Sejarah

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Karya tersebut dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre Simon de Laplace, dan dikenal sebagai teorema Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen. Metode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh Legendre pada tahun 1805. Sementara itu Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794 dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal.

Istilah kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk distribusi normal bivariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini secara tidak sengaja memiliki nama sama.

Referensi

↑ Walpole, Ronald E; Myers, Raymond H (1995). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Diterjemahkan oleh Sembiring, RK (Edisi 4). Bandung: Penerbit ITB. hlm. 160.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)
↑ Walpole, Ronald E; Myers, Raymond H (1995). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Diterjemahkan oleh Sembiring, RK (Edisi 4). Bandung: Penerbit ITB. hlm. 162.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)

Bacaan lebih lanjut

Hanafi, M., & Wibowo, B. (2017). Statistika: Teori & aplikasi. Edisi 1. Jakarta: Mitra Wacana Media.
Supranto, J. (2016). Statistika dasar. Edisi 17. Jakarta: Erlangga.
Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2012). Statistical methods for business & economics. Edisi 17. New York: McGraw-Hill Irwin.