 |
 |
| sferoid pepat | sferoid lonjong |
Sebuah sferoid, atau elipsoid revolusi adalah permukaan kuadrat yang diperoleh dengan memutar suatu elips di salah satu sumbu utamanya; dengan kata lain, suatu elipsoid dengan dua semi-diameter yang sama.
Jika elips diputar di sumbu utamanya, hasilnya adalah sebuah sferoid lonjong (ditarik) seperti bola rugbi. Jika elips diputar di sumbu kecilnya, hasilnya adalah sebuah sferoid pepat (ditekan) seperti lentil. Jika awal elips tersebut berupa lingkaran, hasilnya adalah sebuah sfer.
Akibat efek gabungan gravitasi dan rotasi, bentuk Bumi secara kasar berupa bola yang sedikit pepat di arah sumbunya. Karena itu, dalam kartografi Bumi sering dianggap sebagai sferoid pepat, bukan bola. Model Sistem Geodesi Dunia saat ini menggunakan sferoid yang radiusnya diperkirakan sepanjang 6.378,137 km di khatulistiwa dan 6.356,752 km di kutub (perbedaan sebesar 21 km).
Persamaan
Sebuah sferoid terpusat di asal "y" dan berputar di sumbu z ditetapkan dengan persamaan implisit
-
(
x
a
)
2
+
(
y
a
)
2
+
(
z
b
)
2
=
1
atau
x
2
+
y
2
a
2
+
z
2
b
2
=
1
{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{b}}\right)^{2}=1\quad \quad {\hbox{ atau }}\quad \quad {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}
a adalah radius horizontal melintang di khatulistiwa, dan b adalah radius vertikal terkumpul.[1]
Luas permukaan
Sebuah sferoid lonjong memiliki luas permukaan
-
2
π
(
a
2
+
a
b
α
sin
(
α
)
)
{\displaystyle 2\pi \left(a^{2}+{\frac {ab\alpha }{\sin(\alpha )}}\right)}
α
=
arccos
(
a
b
)
{\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {a}{b}}\right)}
Sebuah sferoid pepat memiliki luas permukaan
-
2
π
[
a
2
+
b
2
sin
(
α
)
ln
(
1
+
sin
(
α
)
cos
(
α
)
)
]
{\displaystyle 2\pi \left[a^{2}+{\frac {b^{2}}{\sin(\alpha )}}\ln \left({\frac {1+\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}\right)\right]}
di mana α = arccos ( b a ) {\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b}{a}}\right)}
adalah eksentrisitas sudut sferoid pepat.
Volume
Volum sferoid (jenis apapun) adalaha
4
3
π
a
2
b
≈
4.19
a
2
b
{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi a^{2}b\approx 4.19\,a^{2}b}
Kelengkungan
Jika suatu sferoid diparameterkan sebagai
-
σ
→
(
β
,
λ
)
=
(
a
cos
β
cos
λ
,
a
cos
β
sin
λ
,
b
sin
β
)
;
{\displaystyle {\vec {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,b\sin \beta );\,\!}
di mana
β
{\displaystyle \beta \,\!}
-
K
(
β
,
λ
)
=
b
2
(
a
2
+
(
b
2
−
a
2
)
cos
2
β
)
2
;
{\displaystyle K(\beta ,\lambda )={b^{2} \over (a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{2}};\,\!}
dan kelengkungan rata-ratanya adalah
-
H
(
β
,
λ
)
=
b
(
2
a
2
+
(
b
2
−
a
2
)
cos
2
β
)
2
a
(
a
2
+
(
b
2
−
a
2
)
cos
2
β
)
3
/
2
.
{\displaystyle H(\beta ,\lambda )={b(2a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta ) \over 2a(a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{3/2}}.\,\!}
Kedua kelengkungan ini selalu positif, jadi setiap titik di suatu sferoid bersifat elips.