Integral Lebesgue

Artikel ini membutuhkan lebih banyak pranala ke artikel lain untuk meningkatkan kualitasnya. Silakan mengembangkan artikel ini dengan menambahkan pranala yang relevan ke konteks pada teks eksisting. (Januari 2023) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus fraksional Malliavin stokastik variasi
l b s

Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

Konstruksi

Ruang ukuran

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} .

Integral dari fungsi sederhana

Fungsi karakteristik χ A : X → { 0 , 1 } {\displaystyle \chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}} untuk himpunan A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} adalah

χ A ( x ) = { 1 j i k a x ∈ A 0 j i k a x ∉ A . {\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases}}.}

Suatu fungsi ϕ : X → R {\displaystyle \phi :X\rightarrow \mathbb {R} } tersebut fungsi sederhana, jika

ϕ = ∑ i = 1 n α i χ A i {\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}

untuk α 1 , … , α n ∈ R {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R} } , A 1 , … , A n ∈ Σ {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \Sigma } dan n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } .

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana ϕ = ∑ i = 1 n α i χ A i {\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}} sebagai

∫ X ϕ d μ = ∑ i = 1 n α i μ ( A i ) . {\displaystyle \int _{X}\phi \,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\,\alpha _{i}\mu (A_{i}).}

Integral dari fungsi tak negatif

Misalnya f : ( X , Σ ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

∫ X f d μ = sup { ∫ X ϕ d μ : ϕ  sederhana,  0 ≤ ϕ ≤ f } . {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{X}\phi \,d\mu :\phi {\text{ sederhana, }}0\leq \phi \leq f\right\}.}

Perhatikan bahwa ∫ X f d μ ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \in [0,\infty ]} .

Integral dari fungsi terukur sembarang

Misalnya f : ( X , Σ ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif f + {\displaystyle f^{+}} dan f − {\displaystyle f^{-}} adalah didefinisikan tik demi tik sebagai f + = max { f , 0 } {\displaystyle f^{+}=\max\{f,0\}} dan f − = max { − f , 0 } {\displaystyle f^{-}=\max\{-f,0\}} . Perhatikan bahwa f = f + − f − {\displaystyle f=f^{+}-f^{-}} dan | f | = f + + f − {\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}} .

Jika ∫ X f + d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}f^{+}\,d\mu <\infty } dan ∫ X f − d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}f^{-}\,d\mu <\infty } , maka f {\displaystyle f} dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

∫ X f d μ = ∫ X f + d μ − ∫ X f − d μ . {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}f^{+}\,d\mu -\int _{X}f^{-}\,d\mu .}

Jelas, f {\displaystyle f} terintegralkan jika dan hanya jika ∫ | f | d μ < ∞ {\displaystyle \int |f|\,d\mu <\infty } .

Sifat-sifat dasar

• Integral itu linear, yaitu jika α , β ∈ R {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} } dan f , g {\displaystyle f,g} fungsi terintegralkan, maka α f + β g {\displaystyle \alpha f+\beta g} juga terintegralkan dengan

∫ X α f + β g d μ = α ∫ X f d μ + β ∫ X g d μ . {\displaystyle \int _{X}\alpha f+\beta g\,d\mu =\alpha \int _{X}f\,d\mu +\beta \int _{X}g\,d\mu .}

• Integral itu monoton, yaitu jika f , g {\displaystyle f,g} fungsi terintegralkan dan f ≤ g {\displaystyle f\leq g} , maka

∫ X f d μ ≤ ∫ X g d μ . {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}