Integral Lebesgue

Artikel ini membutuhkan lebih banyak pranala ke artikel lain untuk meningkatkan kualitasnya. Silakan mengembangkan artikel ini dengan menambahkan pranala yang relevan ke konteks pada teks yang sudah ada. (Januari 2023) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Ada usul agar artikel ini digabungkan dengan Integrasi Lebesgue-Stieltjes. (Diskusikan)

Kalkulus

Teorema dasar

Diferensial

Definisi
Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total
Konsep
Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor
Kaidah dan identitas
Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno

Integral

Definisi
Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral
Integrasi secara
parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi

Deret

Uji kekonvergenan
geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor
uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel

Vektor

Teorema
Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas
Kedivergenan Gradien Green Stokes

Multivariabel

Formalisme
matriks tensor eksterior geometrik
Definisi
Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse

Khusus

Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

Konstruksi

Ruang ukuran

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} $(X,\Sigma ,\mu )$ .

Integral dari fungsi sederhana

Fungsi karakteristik χ A : X → { 0 , 1 } {\displaystyle \chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}} $\chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}$ untuk himpunan A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} $A\subseteq X$ adalah

χ A ( x ) = { 1 j i k a x ∈ A 0 j i k a x ∉ A . {\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases}}.} $\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases}}.$

Suatu fungsi ϕ : X → R {\displaystyle \phi :X\rightarrow \mathbb {R} } $\phi :X\rightarrow \mathbb {R}$ tersebut fungsi sederhana, jika

ϕ = ∑ i = 1 n α i χ A i {\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}} $\phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$

untuk α 1 , … , α n ∈ R {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R} } $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R}$ , A 1 , … , A n ∈ Σ {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \Sigma } $A_{1},\ldots ,A_{n}\in \Sigma$ dan n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } $n\in \mathbb {N}$ .

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana ϕ = ∑ i = 1 n α i χ A i {\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}} $\phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$ sebagai

∫ X ϕ d μ = ∑ i = 1 n α i μ ( A i ) . {\displaystyle \int _{X}\phi \,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\,\alpha _{i}\mu (A_{i}).} $\int _{X}\phi \,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\,\alpha _{i}\mu (A_{i}).$

Integral dari fungsi tak negatif

Misalnya f : ( X , Σ ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} $f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

∫ X f d μ = sup { ∫ X ϕ d μ : ϕ sederhana, 0 ≤ ϕ ≤ f } . {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{X}\phi \,d\mu :\phi {\text{ sederhana, }}0\leq \phi \leq f\right\}.} $\int _{X}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{X}\phi \,d\mu :\phi {\text{ sederhana, }}0\leq \phi \leq f\right\}.$

Perhatikan bahwa ∫ X f d μ ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \in [0,\infty ]} $\int _{X}f\,d\mu \in [0,\infty ]$ .

Integral dari fungsi terukur sembarang

Misalnya f : ( X , Σ ) → ( R , B ( R ) ) {\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} $f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif f + {\displaystyle f^{+}} $f^{+}$ dan f − {\displaystyle f^{-}} $f^{-}$ adalah didefinisikan tik demi tik sebagai f + = max { f , 0 } {\displaystyle f^{+}=\max\{f,0\}} $f^{+}=\max\{f,0\}$ dan f − = max { − f , 0 } {\displaystyle f^{-}=\max\{-f,0\}} $f^{-}=\max\{-f,0\}$ . Perhatikan bahwa f = f + − f − {\displaystyle f=f^{+}-f^{-}} $f=f^{+}-f^{-}$ dan | f | = f + + f − {\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}} $|f|=f^{+}+f^{-}$ .

Jika ∫ X f + d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}f^{+}\,d\mu <\infty } $\int _{X}f^{+}\,d\mu <\infty$ dan ∫ X f − d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}f^{-}\,d\mu <\infty } $\int _{X}f^{-}\,d\mu <\infty$ , maka f {\displaystyle f} $f$ dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

∫ X f d μ = ∫ X f + d μ − ∫ X f − d μ . {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}f^{+}\,d\mu -\int _{X}f^{-}\,d\mu .} $\int _{X}f\,d\mu =\int _{X}f^{+}\,d\mu -\int _{X}f^{-}\,d\mu .$

Jelas, f {\displaystyle f} $f$ terintegralkan jika dan hanya jika ∫ | f | d μ < ∞ {\displaystyle \int |f|\,d\mu <\infty } $\int |f|\,d\mu <\infty$ .

Sifat-sifat dasar

Integral itu linear, yaitu jika α , β ∈ R {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} } $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ dan f , g {\displaystyle f,g} $f,g$ fungsi terintegralkan, maka α f + β g {\displaystyle \alpha f+\beta g} $\alpha f+\beta g$ juga terintegralkan dengan

∫ X α f + β g d μ = α ∫ X f d μ + β ∫ X g d μ . {\displaystyle \int _{X}\alpha f+\beta g\,d\mu =\alpha \int _{X}f\,d\mu +\beta \int _{X}g\,d\mu .} $\int _{X}\alpha f+\beta g\,d\mu =\alpha \int _{X}f\,d\mu +\beta \int _{X}g\,d\mu .$