Kaidah darab

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus fraksional Malliavin stokastik variasi
l b s

Dalam kalkulus, kaidah darab (bahasa Inggris:product rule), atau sering disebut hukum Leibniz (lihat turunan), adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) fungsi yang terdiferensialkan.

Kaidah ini dapat dituliskan sebagai:

( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}

atau dalam notasi Leibniz:

d d x ( u v ) = u d v d x + v d u d x . {\displaystyle {d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}.}

Penemuan oleh Leibniz

Kaidah ini ditemukan oleh Gottfried Leibniz yang mendemonstrasikannya dengan menggunakan diferensial.^[1] Argumen Leibniz mengatakan: jika u(x) dan v(x) adalah dua fungsi x yang terdiferensialkan, maka diferensial dari uv adalah

d ( u v ) = ( u + d u ) ( v + d v ) − u v = u d v + v d u + d u d v . {\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&{}=(u+du)(v+dv)-uv\\&{}=u\,dv+v\,du+du\,dv.\end{aligned}}}

Oleh karena (du)(dv) adalah "dapat diabaikan" (i.e. paling tidak kuadratis pada du dan dv), Leibniz berkesimpula bahwa

d ( u v ) = v d u + u d v {\displaystyle d(uv)=v\,du+u\,dv\,}

dan ini merupakan bentuk diferensial dari kaidah darab. Jika kita membaginya dengan dx, kita mendapatkan

d d x ( u v ) = v ( d u d x ) + u ( d v d x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(uv)=v\left({\frac {du}{dx}}\right)+u\left({\frac {dv}{dx}}\right)}

yang dapat ditulis dengan "notasi prima" sebagai

( u v ) ′ = v u ′ + u v ′ . {\displaystyle (uv)'=vu'+uv'.\,}

Pembuktian kaidah darab

Pembuktian yang cermat dari kaidah darab dapat diberikan menggunakan sifat-sifat limit dan definisi turunan sebagai limit dari hasil bagi beda Newton.

Misalkan

h ( x ) = f ( x ) g ( x ) , {\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}

dan f and g masing-masing terdiferensialkan pada bilangan tetap x. Maka

h ′ ( x ) = lim w → x h ( w ) − h ( x ) w − x = lim w → x f ( w ) g ( w ) − f ( x ) g ( x ) w − x . ( 1 ) {\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)}

Perbedaannya:

f ( w ) g ( w ) − f ( x ) g ( x ) ( 2 ) {\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)}

adalah luas daerah persegi panjang besar dikurangi luas daerah persegi panjang kecil seperti yang digambarkan

Kita ketahui bahwa daerah berbentuk-L di atas dapat dibagi lagi menjadi dua persegi panjang, maka jumlah daerah tersebut dapat ditulis:

f ( x ) ( g ( w ) − g ( x ) ) + g ( w ) ( f ( w ) − f ( x ) ) . ( 3 ) {\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}

(Ilustrasi di atas tidak akan berlaku pada beberapa kasus khusus karena f(w) tidak seperlunya lebih besar dari f(x) dan g(w) tidak seperlunya lebih besar dari g(x). Walaupun begitu, persamaan (2) dan (3) dapat dievaluasi dengan mudah menggunakan aljabar.)

Oleh karena itu, persamaan (1) adalah sama dengan

lim w → x ( f ( x ) ( g ( w ) − g ( x ) w − x ) + g ( w ) ( f ( w ) − f ( x ) w − x ) ) . ( 4 ) {\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)}

Jika semua limit pada (5) ada, maka persamaan (4) sama dengan

( lim w → x f ( x ) ) ( lim w → x g ( w ) − g ( x ) w − x ) + ( lim w → x g ( w ) ) ( lim w → x f ( w ) − f ( x ) w − x ) . ( 5 ) {\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)}

Sekarang

lim w → x f ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{w\to x}f(x)=f(x)\,}

karena f(x) tetaplah konstan ketika w → x;

lim w → x g ( w ) − g ( x ) w − x = g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)}

karena g terdiferensialkan pada x;

lim w → x f ( w ) − f ( x ) w − x = f ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}

karena f terdiferensialkan pada x;

lim w → x g ( w ) = g ( x ) {\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,}

karena g kontinu pada x (Teorema lainnya mengatakan fungsi yang terdiferensialkan haruslah kontinu)

Kita dapat berkesimpulan bahwa persamaan (5) sama dengan

f ( x ) g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) . {\displaystyle f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}

Pembuktian alternatif: menggunakan logaritma

Misalkan f = uv dan u dan v adalah positif. Maka

ln ⁡ f = ln ⁡ u + ln ⁡ v . {\displaystyle \ln f=\ln u+\ln v.\,}

Diferensialkan dua sisi:

1 f d d x f = 1 u d d x u + 1 v d d x v {\displaystyle {1 \over f}{d \over dx}f={1 \over u}{d \over dx}u+{1 \over v}{d \over dx}v}

kalikan sisi kiri dengan f dan sisi kanan dengan uv,

d d x f = v d d x u + u d d x v . {\displaystyle {d \over dx}f=v{d \over dx}u+u{d \over dx}v.}

Pembuktian ini dapat dilihat di Diarsipkan 2008-01-17 di Wayback Machine. Perlu diperhatikan bahwa karena u, v haruslah kontinu, asumsi positif tidak akan menghilangkan kerampatan (generality).

Pembuktian ini bergantung pada kaidah rantai dan sifat-sifat fungsi logaritma natural.

Pembuktian alternatif: menggunakan kaidah rantai

Kaidah darab dapat dianggap sebagai kasus khusus dari kaidah rantai untuk beberapa variable.

d ( a b ) d x = ∂ ( a b ) ∂ a d a d x + ∂ ( a b ) ∂ b d b d x = b d a d x + a d b d x . {\displaystyle {d(ab) \over dx}={\frac {\partial (ab)}{\partial a}}{\frac {da}{dx}}+{\frac {\partial (ab)}{\partial b}}{\frac {db}{dx}}=b{\frac {da}{dx}}+a{\frac {db}{dx}}.}

Perumuman

Hasil kali dari lebih dari dua faktor

Kaidah darab dapat diperumum ke hasil kali yang memiliki lebih dari dua faktor. Misalkan untuk tiga faktor:

d ( u v w ) d x = d u d x v w + u d v d x w + u v d w d x . {\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.}

Untuk sekumpulan fungsi f 1 , … , f k {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}} :

d d x ∏ i = 1 k f i ( x ) = ( ∑ i = 1 k d d x f i ( x ) f i ( x ) ) ∏ i = 1 k f i ( x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {{\frac {d}{dx}}f_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right)\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x).}

Turunan lebih tinggi

Kaidah ini juga dapat dirampatkan menjadi kaidah Leibniz untuk turunan lebih tinggi dari hasil kali dua faktor: jika y = uv dan y⁽ⁿ⁾ menandakan turunan ke-n dari y, maka

y ( n ) ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) u ( n − k ) ( x ) v ( k ) ( x ) . {\displaystyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}u^{(n-k)}(x)\;v^{(k)}(x).}

Lihat pula koefisien binomial dan teorema binomial yang mirip dengan perampatan ini.

Turunan parsial lebih tinggi

Untuk turunan parsial lebih tinggi:

∂ n ∂ x 1 ⋯ ∂ x n ( u v ) = ∑ S ∂ | S | u ∏ i ∈ S ∂ x i ⋅ ∂ n − | S | v ∏ i ∉ S ∂ x i {\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}

dengan indeks S adalah deret 2ⁿ dari subhimpunan dari {1, ..., n}. Misalkan n = 3:

∂ 3 ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ( u v ) = u ⋅ ∂ 3 v ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 1 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 2 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 2 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 1 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 3 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 1 ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 2 ⋅ ∂ v ∂ x 3 + ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 3 ⋅ ∂ v ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 ∂ x 3 ⋅ ∂ v ∂ x 1 + ∂ 3 u ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ⋅ v . {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\\\&{}=u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\\\&{}\qquad +{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\end{aligned}}}

Kaidah darab pada ruang Banach

Jika X, Y, dan Z adalah ruang Banach (yang meliputi ruang Euclide) dan B: X × Y → Z adalah operator bilinear kontinu. Maka B terdiferensialkan dan turunannya pada titik (x,y) di X × Y adalah peta linear D_(x,y)B: X × Y → Z

( D ( x , y ) B ) ( u , v ) = B ( u , y ) + B ( x , v ) ∀ ( u , v ) ∈ X × Y . {\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}

Turunan dalam aljabar abstrak

Dalam aljabar abstrak, kaidah darab digunakan untuk mendefnisikan apa yang disebut sebagai turunan dan tidak sebaliknya.

Untuk fungsi vektor

Dalam fungsi vektor, kaidah darab akan berubah sedikit karena sifat antikomutatif pada hasil kali vektor. Sehingga:

( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}

dan bukannya

( f g ) ′ = f ′ g + g ′ f {\displaystyle (fg)'=f'g+g'f\,} , walaupun ini adalah benar pada perkalian skalar.

Lihat pula

• Kaidah hasil bagi
• Kaidah timbal balik
• Kaidah rantai
• Integrasi parsial
• Diferensial
• Turunan (aljabar abstrak)

Referensi