Uji suku

Uji kekonvergenan, lengkapnya adalah uji kekonvergenan ke-n untuk kedivergenan (bahasa Inggris: "nth-term test for divergence") dalam matematika adalah uji sederhana untuk menguji apakah suatu deret tak terhingga bersifat divergen atau tidak, pada elemen ke-n.^[1]

• Jika lim n → ∞ a n ≠ 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0} atau jika limit tidak ada, maka ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} bersifat divergen (tidak bertemu di satu titik tertentu).

Banyak penulis tidak menamai uji ini atau memberi nama yang lebih pendek.^[2]

Penggunaan

Tidak seperti uji kekonvergenan, uji suku tidak dapat membuktikan sendiri bahwa suatu deret itu konvergen. Khususnya, kebalikan uji ini tidak benar. Sebaliknya, yang dapat dikatakan hanya:

• Jika lim n → ∞ a n = 0 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,} maka ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} dapat bersifat atau tidak bersifat konvergen. Dengan kata lain, jika lim n → ∞ a n = 0 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,} uji tersebut tidak mempunyai kesimpulan.

Deret harmonik merupakan contoh klasik deret divergen di mana elemen-elemennya mempunyai limit nol..^[3] Kelas yang lebih umum dari deret-p,

∑ n = 1 ∞ 1 n p , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}

memberi contoh hasil yang mungkin didapat dari uji ini:

• Jika p ≤ 0, maka uji suku mengidentifikasi bahwa deret itu divergen.
• Jika 0 < p ≤ 1, maka uji suku itu tidak mempunyai kesimpulan, tetapi deret itu divergen berdasarkan uji integral untuk kekonvergenan
• Jika 1 < p, maka uji suku itu tidak mempunyai kesimpulan, tetapi deret itu konvergen berdasarkan.

Bukti

Uji ini biasanya dibuktikan dalam bentuk kontrapositif:

• Jika ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} konvergen, maka lim n → ∞ a n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}

Manipulasi limit

Jika s_n merupakan jumlah parsial deret itu, maka asumsi bahwa deret itu konvergen berarti bahwa

lim n → ∞ s n = s {\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=s}

untuk sejumlah bilangan s. Maka^[4]

lim n → ∞ a n = lim n → ∞ ( s n − s n − 1 ) = lim n → ∞ s n − lim n → ∞ s n − 1 = s − s = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=s-s=0.}

Kriteria Cauchy

Asumsi bahwa suatu deret adalah konvergen berarti sudah lolos uji kekonvergenan Cauchy untuk setiap ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} terdapat bilangan N sedemikian rupa sehingga

| a n + 1 + a n + 2 + … + a n + p | < ε {\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon }

berlaku untuk semua n > N dan p ≥ 1. Menetapkan nilai p = 1 memulihkan definisi pernyataan itu^[5]

lim n → ∞ a n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}

Ruang lingkup

Versi paling sederhana dari uji suku berlaku untuk deret tak terhingga bilangan real. Kedua bukti di atas, berdasarkan kriteria Cauchy atau kelinearan limit, juga berlaku untuk ruang vektor bernorma yang lain.^[6]

Lihat pula

• Deret (matematika)
• Elemen (matematika)

Referensi

Pustaka

• Brabenec, Robert (2005). Resources for the study of real analysis. MAA. ISBN 0-88385-737-5.
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. ISBN 981-256-563-9.
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003). Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2050-8.
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (Edisi 3e). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (Edisi 4e). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
• Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Functional Analysis. Springer. ISBN 1-4020-1616-6.