| Kalkulus | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
||||||
|
Khusus |
||||||
Dalam kalkulus, kaidah hasil bagi adalah cara untuk menemukan turunan sebuah fungsi yang terdiri dari hasil bagi dua fungsi lain yang eksistensi turunannya sudah diketahui.
Bila fungsi yang ingin didiferensiasikan f(x) dapat ditulis sebagai
-
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x))}}}
,
dan h(x) ≠ 0, maka kaidah hasil bagi menyatakan bahwa turunan g(x)/h(x) dapat dihitung sebagai berikut:
-
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
′
(
x
)
[
h
(
x
)
]
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82716522b2b3cc19edf82b02a632d1b6156d0759)
Atau lebih tepatnya, untuk semua x dalam sebuah himpunan terbuka (dalam bilangan riil ini adalah selang terbuka) beranggotakan bilangan a, dengan h(a) ≠ 0, dan g'(a) serta h'(a) keduanya eksis, maka f'(a) juga eksis:
-
f
′
(
a
)
=
g
′
(
a
)
h
(
a
)
−
g
(
a
)
h
′
(
a
)
[
h
(
a
)
]
2
.
{\displaystyle f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{[h(a)]^{2}}}.}
![{\displaystyle f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{[h(a)]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0779043771999428ad8ffa2d1b117b46263b1e59)
Bukti
Misalkan
f
(
x
)
=
g
(
x
)
/
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}
-
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}}
Dengan menarik keluar
1
/
Δ
x
{\displaystyle 1/\Delta x}
-
=
lim
Δ
x
→
0
1
Δ
x
(
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
)
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}
Menambahkan suku
g
(
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle g(x)h(x)-g(x)h(x)}
-
=
lim
Δ
x
→
0
1
Δ
x
(
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
+
g
(
x
)
h
(
x
)
h
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
)
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}
Memfaktorkan dan mengalikan
1
/
Δ
x
{\displaystyle 1/\Delta x}
-
=
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
Δ
x
h
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}}
-
=
lim
Δ
x
→
0
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
lim
Δ
x
→
0
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
Δ
x
)
h
(
x
)
h
(
lim
Δ
x
→
0
(
x
+
Δ
x
)
)
{\displaystyle ={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}}}
Dari definisi turunan, limit-limit di pembilang adalah turunan. Jadi kita mendapatkan
-
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
′
(
x
)
[
h
(
x
)
]
2
{\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}
![{\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c052044209e96b2824a60be415ce8d286e6b11c3)
 | Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. |