Pembagi

Dalam ilmu matematika, pembagi (bahasa Inggris:divisor) atau faktor (bahasa Inggris:factor) dari suatu bilangan bulat n {\displaystyle n} $n$ adalah suatu bilangan bulat m {\displaystyle m} $m$ yang dikalikan dengan bilangan bulat tertentu untuk menghasilkan n {\displaystyle n} $n$ , sehingga n {\displaystyle n} $n$ merupakan hasil perkalian m {\displaystyle m} $m$ . Dalam kasus tersebut, n {\displaystyle n} $n$ habis dibagi dengan m {\displaystyle m} $m$ jika m {\displaystyle m} $m$ merupakan pembagi dari n {\displaystyle n} $n$ , sehingga n {\displaystyle n} $n$ dibagi m {\displaystyle m} $m$ tidak menghasilkan sisa (atau sisa pembagian sama dengan 0).

Definisi

Suatu bilangan bulat n {\displaystyle n} $n$ habis dibagi oleh bilangan bulat taknol m {\displaystyle m} $m$ jika terdapat bilangan bulat k {\displaystyle k} $k$ yang memenuhi n = k m {\displaystyle n=km} $n=km$ . Definisi tersebut dapat dirumuskan sebagai:

m ∣ n {\displaystyle m\mid n} $m\mid n$

Notasi tersebut dapat dibaca: m {\displaystyle m} $m$ membagi n , {\displaystyle n,} $n,$ m {\displaystyle m} $m$ adalah pembagi n , {\displaystyle n,} $n,$ m {\displaystyle m} $m$ adalah faktor dari n , {\displaystyle n,} $n,$ atau n {\displaystyle n} $n$ adalah hasil perkalian m . {\displaystyle m.} $m.$ Jika m {\displaystyle m} $m$ tidak membagi n {\displaystyle n} $n$ , maka notasinya adalah m ∤ n . {\displaystyle m\not \mid n.} $m\not \mid n.$ ^[1]^[2]

Terdapat dua ekspresi matematika yang berhubungan dengan definisi tersebut, tergantung pada ketentuan apakah nol diperbolehkan untuk m {\displaystyle m} $m$ :

Jika ekspresi tersebut tidak memuat syarat tambahan untuk m {\displaystyle m} $m$ , m ∣ 0 {\displaystyle m\mid 0} $m\mid 0$ untuk setiap bilangan bulat m {\displaystyle m} $m$ .^[1]^[2]
Jika ekspresi tersebut mensyaratkan m {\displaystyle m} $m$ bukan bilangan nol, m ∣ 0 {\displaystyle m\mid 0} $m\mid 0$ untuk setiap bilangan bulat taknol m {\displaystyle m} $m$ .^[3]^[4]

Pengertian umum

Pembagi dapat berupa bilangan negatif atau bilangan positif, meskipun istilah ini umumnya terfokus pada bilangan pembagi positif. Misalnya, angka 4 sebenarnya memiliki enam pembagi, yaitu 1, 2, 4, −1, −2, dan −4, tetapi hanya bilangan positif (1, 2, and 4) yang biasanya disebutkan sebagai pembagi angka 4.

1 dan −1 dapat membagi (atau merupakan pembagi) setiap bilangan bulat. Setiap bilangan bulat (dan lawan bilangan negatifnya) adalah faktor bilangan itu sendiri. Bilangan bulat yang habis dibagi 2 disebut bilangan genap, dan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 disebut bilangan ganjil.

1, −1, n {\displaystyle n} $n$ dan − n {\displaystyle -n} $-n$ disebut pembagi trivial dari n {\displaystyle n} $n$ , sedangkan pembagi n {\displaystyle n} $n$ yang bukan merupakan pembagi trivial disebut pembagi nontrivial.^[5] Bilangan bulat taknol yang memiliki setidaknya satu pembagi nontrivial disebut bilangan komposit. Angka −1 dan 1 serta bilangan prima tidak memiliki pembagi nontrivial.

Aturan keterbagian dapat memprediksi pembagi-pembagi tertentu dari suatu bilangan dengan melihat angkanya.

Contoh

7 adalah pembagi dari 42 karena 7 × 6 = 42 {\displaystyle 7\times 6=42} $7\times 6=42$ , sehingga dapat dikatakan 7 ∣ 42 {\displaystyle 7\mid 42} $7\mid 42$ . Dapat pula dikatakan bahwa 42 habis dibagi 7, 42 adalah hasil perkalian 7, 7 dapat membagi 42, atau 7 adalah faktor dari 42.
Pembagi nontrivial dari 6 adalah 2, −2, 3, −3.
Pembagi positif dari 42 adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
5 ∣ 0 {\displaystyle 5\mid 0} $5\mid 0$ , karena 5 × 0 = 0 {\displaystyle 5\times 0=0} $5\times 0=0$ .
Himpunan semua faktor 60, A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 15 , 20 , 30 , 60 } {\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}} $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$ , yang jika diurutkan secara parsial berdasarkan keterbagian (divisibility), dapat ditampilkan sebagai berikut dengan diagram Hasse:

Pembahasan lanjutan

Sejumlah kaidah dasar yang berhubungan dengan pembagi adalah sebagai berikut.

Jika a ∣ b {\displaystyle a\mid b} $a\mid b$ dan b ∣ c {\displaystyle b\mid c} $b\mid c$ , maka a ∣ c {\displaystyle a\mid c} $a\mid c$ . Kaidah tersebut termasuk relasi transitif.
Jika a ∣ b {\displaystyle a\mid b} $a\mid b$ dan b ∣ a {\displaystyle b\mid a} $b\mid a$ , maka a = b {\displaystyle a=b} $a=b$ atau a = − b . {\displaystyle a=-b.} $a=-b.$
Jika a ∣ b {\displaystyle a\mid b} $a\mid b$ dan a ∣ c , {\displaystyle a\mid c,} $a\mid c,$ maka a ∣ ( b + c ) {\displaystyle a\mid (b+c)} $a\mid (b+c)$ berlaku, seperti halnya a ∣ ( b − c ) . {\displaystyle a\mid (b-c).} $a\mid (b-c).$ ^[a] Namun, jika a ∣ b {\displaystyle a\mid b} $a\mid b$ dan c ∣ b , {\displaystyle c\mid b,} $c\mid b,$ maka ( a + c ) ∣ b {\displaystyle (a+c)\mid b} $(a+c)\mid b$ tidak selalu berlaku (misalnya, 2 ∣ 6 {\displaystyle 2\mid 6} $2\mid 6$ dan 3 ∣ 6 {\displaystyle 3\mid 6} $3\mid 6$ , tapi 5 ∤ 6. {\displaystyle 5\not \mid 6.} $5\not \mid 6.$ ).

Jika a ∣ b c {\displaystyle a\mid bc} $a\mid bc$ dan gcd ( a , b ) = 1 {\displaystyle \gcd(a,b)=1} $\gcd(a,b)=1$ ^[b], maka a ∣ c {\displaystyle a\mid c} $a\mid c$ . Kaidah ini disebut Lemma Euklidean.

Jika p {\displaystyle p} $p$ merupakan bilangan prima dan p ∣ a b {\displaystyle p\mid ab} $p\mid ab$ , maka p ∣ a {\displaystyle p\mid a} $p\mid a$ atau p ∣ b . {\displaystyle p\mid b.} $p\mid b.$

Bilangan pembagi postif n {\displaystyle n} $n$ yang tidak sama dengan n {\displaystyle n} $n$ disebut pembagi sejati atau bagian alikuot dari n {\displaystyle n} $n$ (misalnya, pembagi sejati bilangan 6 ialah 1, 2, and 3). Bilangan yang tidak habis membagi n {\displaystyle n} $n$ melainkan menyisakan sisa pembagian terkadang disebut bagian alikuan dari n {\displaystyle n} $n$ .

Bilangan bulat n > 1 {\displaystyle n>1} $n>1$ yang hanya memiliki angka 1 sebagai pembagi sejatinya disebut bilangan prima. Oleh karena itu, bilangan prima didefinisikan sebagai bilangan bulat positif yang memiliki tepat dua bilangan faktor positif, yakni angka 1 dan dirinya sendiri.

Suatu pembagi positif dari bilangan n {\displaystyle n} $n$ merupakan darab (hasil kali) atas bilangan faktor prima dari n {\displaystyle n} $n$ yang dipangkatkan. Kaidah ini merupakan akibat dari teorema dasar aritmetika.

Bilangan n {\displaystyle n} $n$ merupakan bilangan sempurna jika bilangan tersebut sama dengan hasil jumlah pembagi sejatinya, merupakan bilangan defisien jika hasil jumlah pembagi sejatinya kurang dari n , {\displaystyle n,} $n,$ atau merupakan bilangan berlimpah jika hasil jumlah tersebut lebih dari n . {\displaystyle n.} $n.$

Lihat pula

Fungsi aritmetik
Kaidah divisibilitas
Fungsi pembagi
Algoritme Euclid
Pecahan
Tabel pembagi—Sebuah tabel pembagi bilangan prima dan bilangan non-prima untuk 1–1000
Tabel faktor bilangan prima—A table of prime factors for 1–1000

Referensi

1 2 Hardy & Wright 1960, hlm. 1
1 2 Niven, Zuckerman & Montgomery 1991, hlm. 4
↑ Sims 1984, hlm. 42
↑ Durbin (2009), hlm. 57, Chapter III Section 10
↑ "FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois" (PDF).

Pustaka

Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (Edisi 3rd). New York: Wiley. ISBN 0-471-51001-7.
Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9

Templat:Divisor classes

l b s Pecahan dan rasio
	Pembagian dan rasio	Pembagian : Pembagi = Hasil bagi
	Pecahan	Pembilang / Penyebut = Hasil bagi
	Aljabar Aspek Berlanjut Bilangan bulat Biner Desimal Diadik Emas Perak Interval KPK Mesir Persentase Satuan Taktereduksi Reduksi Ukuran kertas

↑ a ∣ b , a ∣ c {\displaystyle a\mid b,\,a\mid c} $a\mid b,\,a\mid c$ ⇒ ∃ j : j a = b , ∃ k : k a = c {\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c} $\Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c$ ⇒ ∃ j , k : ( j + k ) a = b + c {\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j+k)a=b+c} $\Rightarrow \exists j,k\colon (j+k)a=b+c$ ⇒ a ∣ ( b + c ) . {\displaystyle \Rightarrow a\mid (b+c).} $\Rightarrow a\mid (b+c).$ Demikian pula, a ∣ b , a ∣ c {\displaystyle a\mid b,\,a\mid c} $a\mid b,\,a\mid c$ ⇒ ∃ j : j a = b , ∃ k : k a = c {\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c} $\Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c$ ⇒ ∃ j , k : ( j − k ) a = b − c {\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j-k)a=b-c} $\Rightarrow \exists j,k\colon (j-k)a=b-c$ ⇒ a ∣ ( b − c ) . {\displaystyle \Rightarrow a\mid (b-c).} $\Rightarrow a\mid (b-c).$
↑ gcd {\displaystyle \gcd } $\gcd$ merujuk pada faktor persekutuan terbesar (FPB).