Relasi transitif

Dalam matematika, relasi R {\displaystyle R} pada himpunan X {\displaystyle X} dikatakan transitif jika R {\displaystyle R} menghubungkan a {\displaystyle a} ke b {\displaystyle b} dan menghubungkan b {\displaystyle b} ke c {\displaystyle c} , maka R {\displaystyle R} menghubungkan a {\displaystyle a} ke c {\displaystyle c} .

Definisi

Relasi homogen R {\displaystyle R} pada himpunan X {\displaystyle X} dikatakan transitif jika a R b {\displaystyle aRb} dan b R c {\displaystyle bRc} , maka a R c {\displaystyle aRc} , untuk semua a , b , c , ∈ X {\displaystyle a,b,c,\in X} .^[1] Secara matematis, dapat ditulis dalam notasi logika orde pertama.

∀ a , b , c ∈ X : ( a R b ∧ b R c ) ⇒ a R c . {\displaystyle \forall a,b,c\in X:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc.}

Pada notasi di atas, a R b {\displaystyle aRb} merupakan notasi infiks untuk ( a , b ) ∈ R {\displaystyle (a,b)\in R} .

Contoh

Contoh relasi transitif dalam matematika memuat "lebih besar dari" dan "sama dengan"; dalam himpunan bilangan real atau bilangan asli.

• jika x > y {\displaystyle x>y} , dan y > z {\displaystyle y>z} , maka x > z {\displaystyle x>z}
• jika x = y {\displaystyle x=y} , dan y = z {\displaystyle y=z} , maka x = z {\displaystyle x=z} .

Relasi transitif dapat dinyatakan juga melalui contoh-contoh non-matematis, seperti relasi "leluhur dari"; sebagai contoh, jika Ani adalah leluhur dari Budi, dan Budi adalah leluhur dari Candra, maka Ani adalah leluhur dari Candra.

Catatan

Referensi

• Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St.Andre, Richard (2006), A Transition to Advanced Mathematics (Edisi 6), Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-39900-9